Bài 104302

Question

Cho hàm số:

$y = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}}$

$1$ . Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

$2$ . Viết phương trình của Parabol đi qua điểm cực đại, điểm cực tiểu của đồ thị hàm số và tiếp
xúc với đường thẳng

$y =- \frac{1}{2}$

$3$ . Tìm hai điểm

$A, B$ thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị để khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất.

score 0 · Answer 1

$1$ . Dành cho bạn đọc tự giải.

$2$ . Điểm cực đại

$O(0;0)$ ; điểm cực tiểu

$M(2;4).$
Xét Parabol

$y = a{x^2} + bx + c\,\,(P)$

$(P$ ) qua

$O(0;0) \Leftrightarrow c = 0$
(

$P$ ) qua

$M(2;4) \Leftrightarrow 4 = 4a + 2b \Leftrightarrow b = 2 - 2a$
Phương trình (

$P$ ) trở thành:

$y = a{x^2} + (2 - 2a)x$
(

$P$ ) tiếp xúc đường thẳng

$y = - \frac{1}{2}$ khi và chỉ khi hệ pt sau có nghiệm:

$\left\{ \begin{array}{l} a{x^2} + (2 - 2a)x = - \frac{1}{2}\,\,\,(1)\\ 2ax + 2 - 2a = 0\,\,\,\,(2) \end{array} \right.$
Vì

$(2) \Leftrightarrow x = \frac{{a - 1}}{a}$ nên hệ trên có nghiệm khi:

$a{(\frac{{a - 1}}{a})^2} + 2(1 - a)\left( {\frac{{a - 1}}{a}} \right) = - \frac{1}{2}$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 2\\ a = \frac{1}{2} \end{array} \right.$
Vậy ta có

$2$ Parabol cần tìm:

$\begin{array}{l} y = 2{x^2} - 2x\\ y = \frac{1}{2}{x^2} + x \end{array}$

$3.$ Xét hai điểm

$A(1 - {t_1},f(1 - {t_1}))\,\,;\,\,B(1 + {t_2};f(1 + {t_2}))$ với

${t_1};{t_2} > 0$ thì

$A, B$ thuộc hai nhánh khác nhau của đồ thị

$y = f(x) = \frac{{{x^2}}}{{x - 1}} = x + 1 + \frac{1}{{x - 1}}$ .
Khoảng cách

$AB = \sqrt {{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2} + {{\left( {{y_2} - {y_1}} \right)}^2}}$
Với :

$\begin{array}{l} {x_2} = 1 + {t_2}\\ {x_1} = 1 - {t_1}\\ \Rightarrow {x_2} - {x_1} = {t_2} + {t_1}\\ {y_2} = f({x_2}) = 1 + {t_2} + 1 + \frac{1}{{1 + {t_2} - 1}} = 2 + {t_2} + \frac{1}{{{t_2}}}\\ {y_1} = f({x_1}) = 2 - {t_1} - \frac{1}{{{t_1}}}\\ \Rightarrow {y_2} - {y_1} = {t_2} + {t_1} + \frac{1}{{{t_2}}} + \frac{1}{{{t_1}}} = \left( {{t_2} + {t_1}} \right)\left( {1 + \frac{1}{{{t_1}{t_2}}}} \right) \end{array}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow A{B^2} = {({t_2} + {t_1})^2} + {({t_2} + {t_1})^2}{\left( {1 + \frac{1}{{{t_1}{t_2}}}} \right)^2}\\ = {({t_2} + {t_1})^2}\left[ {1 + 1 + \frac{2}{{{t_1}{t_2}}} + \frac{1}{{{t_1}^2{t_2}^2}}} \right]\\ AB2 = {({t_2} + {t_1})^2}\left[ {2 + \frac{2}{{{t_1}{t_2}}} + \frac{1}{{{t_1}^2{t_2}^2}}} \right] \ge 4{t_1}{t_2}\left[ {2 + \frac{2}{{{t_1}{t_2}}} + \frac{1}{{{t_1}^2{t_2}^2}}} \right]\\ = 4\left( {2{t_1}{t_2} + \frac{1}{{{t_1}{t_2}}} + 2} \right) \ge 4\left( {2\sqrt 2 + 2} \right) = 8\left( {\sqrt 2 + 1} \right) \end{array}$