Bài 104363

Question

Cho góc tam diện

$Oxyz$ và

$\frac{1}{8}$ mặt cầu đơn vị

${x^2} + {y^2} + {z^2} = 1;x \ge 0;y \ge 0;z \ge 0$ trong góc tam diện ấy. Mặt phẳng (

$P$ ) tiếp xúc với

$\frac{1}{8}$ mặt cầu ấy tại

$M$ , cắt

$Ox, Oy, Oz$ lần lượt tại

$A, B, C$ sao cho

$OA = a > 0. OB = b > 0; OC = c > 0.$
Chứng minh rằng:

$1$ .

$\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{b^2}}} + \frac{1}{{{c^2}}} = 1$

$2$ .

$(1 + {a^2})(1 + {b^2})(1 + {c^2}) \ge 64$ . Tìm vị trí điểm

$M$ để đạt dấu đẳng thức.

score 0 · Answer 1

$1.$ Ta có:
Vì

$A(a,0,0); B(0,b,0);C(0,0,c)$ nên mặt phẳng

$ABC$ có phương trình

$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}-1=0$
Mặt phẳng này tiếp xúc với mặt cầu đơn vị nên khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng

$(ABC)$ là

$1,$ do đó

$\frac{|-1|}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}}}=1\Leftrightarrow \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}=1$

$2.$ dpcm

$\Leftrightarrow (\frac{1}{a^2}+1)(\frac{1}{b^2}+1)(\frac{1}{c^2}+1)\geq \frac{64}{a^2b^2c^2}$
Đặt

$x=\frac{1}{a^2}, y=\frac{1}{b^2},z=\frac{1}{c^2}$ thì

$x,y,z>0$ và có

$x+y+z=1$
Còn dpcm

$\Leftrightarrow (1+x)(a+y)(1+z)\geq 64xyz$
Ta có:

$\begin{cases}1+x=x+y+z+x\geq 4.\sqrt[4]{x^2yz} \\ 1+y=x+y+z+y\geq 4.\sqrt[4]{xy^2z} \\1+z=x+y+z+z\geq 4.\sqrt[4]{xyz^2} \end{cases}$

$\Rightarrow (1+x)(1+y)(1+z)\geq 64xyz (dpcm)$
Đẳng thức xảy ra

$\Leftrightarrow x=y=z=\frac{1}{3}\Leftrightarrow a=b=c=\sqrt{3}$
Điểm

$M$ cần tìm là trọng tâm

$\Delta ABC$ nên

$M$ có tọa độ

$x_M=\frac{x_A+x_B+x_C}{2}=\frac{\sqrt{3}+0+0}{3}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$y_M=\frac{y_A+y_B+y_C}{3} , z_M=\frac{1}{\sqrt{3}}$

1 Đáp án