Bài 104673

Question

Cho hai đường thẳng

$\Delta$ và

$\Delta$ ’ có phương trình sau đây:

$\begin{array}{l} \Delta :\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{3} = \frac{{z - 2}}{1}\\ \Delta ':\frac{{x - 2}}{2} = \frac{{y + 2}}{5} = \frac{z}{{ - 2}} \end{array}$

$1$ . Chứng minh rằng

$2$ đường thẳng

$\Delta$ và

$\Delta$ ’ chéo nhau

$2$ . Viết phương trình đường vuông góc chung của

$\Delta$ và

$\Delta$ ’

score 1 · Answer 1

$1$ . Viết phương trình

$\Delta$ và

$\Delta$ ’ dưới dạng tham số ta có:

$\begin{array}{l} \Delta :\left\{ \begin{array}{l} x = - 1 + 2t\\ y = 1 + 3t\\ z = 2 + t \end{array} \right.\\ \Delta ':\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + t'\\ y = - 2 + 5t'\\ z = - 2t' \end{array} \right. \end{array}$
Khử

$x, y, z$ từ

$2$ hệ phương trình trên ta được một hệ

$3$ phương trình

$2$ ẩn

$t, t’$ . Dễ thấy hệ này
vô nghiệm nên

$\Delta$ và

$\Delta$ ’ không có điểm chung. Mặt khác

$\Delta$ và

$\Delta$ ’ có các véc tơ chỉ phương là

$\overrightarrow u (2,3,1)$ và

$\overrightarrow {u'} (1,5, - 2)$ không cùng phương. Do đó

$\Delta$ và

$\Delta$ ’ chéo nhau.

$2.$ Xét

$M(-1+2t; 1+3t;2+t)$ thuộc

$\Delta$ và

$M’(2+t’; -2+5t’; -2t’)$ thuộc

$\Delta$ ’.

$\overrightarrow {MN} = (3 + t' - 2t; - 3 + 5t' - 3t; - 2 - 2t' - t)$

$MM’$ sẽ là đường vuông góc chung của

$\Delta$ và

$\Delta$ ’

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {MM'} \bot \overrightarrow u \\ \overrightarrow {MM'} \bot \overrightarrow u ' \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow {MM'} .\overrightarrow u = 0\\ \overrightarrow {MM'} .\overrightarrow u ' = 0 \end{array} \right.$
Giải hệ pt trên ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} t = - \frac{2}{{13}}\\ t' = \frac{{37}}{{195}} \end{array} \right.$
Thế các giá trị tìm được của

$t$ và

$t’$ vào biểu thức tọa độ của

$M, M’$ và

$\overrightarrow {MM'}$ ta được:

$\begin{array}{l} M\left( { - \frac{{17}}{3};\frac{7}{{13}};\frac{{24}}{{13}}} \right)\\ \overrightarrow {MM'} = \left( {\frac{{682}}{{195}};\frac{{ - 310}}{{195}};\frac{{ - 434}}{{195}}} \right) = \frac{{682}}{{195}}\left( {11; - 5; - 7} \right) \end{array}$
Do đó đường vuông góc chung qua

$M$ và có véc tơ chỉ phương