Bài 104396

Question

Cho hệ tọa độ đề các $Oxyz$. Trên các nửa trục tọa độ $Ox, Oy, Oz$ lấy các điểm tương ứng
$A(2a;0;0) B(0;2b;0) C(0;0;c)$ với $a > 0; b > 0; c > 0.$
$1$. Tính khoảng cách từ $O$ đến mặt phẳng ($ABC$) theo $a, b, c.$
$2$. Tính thể tích khối đa diện $OABE$ theo $a, b, c$ trong đó $E$ là chân đường cao $AE$ trong tam giác $ABC.$

score 0 · Answer 1

$1.$
Ta có phương trình đoạn chắn của mặt phẳng $(ABC)$ là:
$\frac{x}{2a}+\frac{y}{2b}\frac{z}{2c}=1$ hay $bcx+acy+2abz-2abc=0$
Khoảng cách từ $O(0;0;0)$ đến $(ABC)$là:
$h=\frac{2abc}{\sqrt{b^2c^2+a^2c^2+4a^2b^2}}$
$2.$
Ta có $\underset{BC}{\rightarrow}=(0;-2b;c)\Rightarrow $ phương trình tham số của
đường thẳng $BC$ là $\begin{cases}x=0 \\ y=2b-2bt \\z=ct\end{cases}$
Vậy có $E(0;2b-2bt;ct)$
và $ \underset{OE}{\rightarrow}=(-2a;2b-2bt;ct)$ vì $AE \bot BC$ nên $OE \bot BC$(định lý $3$ đường vuông góc)
do đó $\underset{OE}{\rightarrow}.\underset{BC}{\rightarrow}=0\Leftrightarrow -2b(2b-2bt)+c^2t=0\Leftrightarrow t=\frac{4b^2}{4b^2+c^2}$
Ta được $\underset{AE}{\rightarrow}=(-2a;\frac{2bc^2}{4b^2+c^2};\frac{4b^2c}{4b^2+c^2})$
Mặt khác, ta có $\underset{AB}{\rightarrow}=(-2a;2b;0)$
$[\underset{AB}{\rightarrow},\underset{AE}{\rightarrow}]=(\frac{8b^3c}{4b^2+c^2};\frac{8ab^2c}{4b^2+c^2};\frac{16ab^3}{4b^2+c^2})$. Do đó :
$S_{\Delta ABE}=\frac{1}{2}[\underset{AB}{\rightarrow},\underset{AE}{\rightarrow}]=\frac{4b^2}{4b^2+c^2}.\sqrt{b^2c^2+a^2c^2+4a^2b^2}$.
Vậy $V_{OABE}=\frac{1}{3}h.S_{\Delta ABE}=\frac{8acb^3}{3(4b^2+c^2)}$.
Lưu ý : Nếu không sử dụng phương pháp véc tơ, ta có thể chứng minh rằng $V_{OABE}=\frac{OA.OC.OB^3}{6(OB^2+OC^2)}$.
Thay $OA=2a, OB=2b; OC=c$ ta cũng được kết quả như trên

Bài 104396

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 104396

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan