|
|
a) Hệ sau phải có nghiệm
$\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} - \left( {m + 1} \right)x + m = 0{\rm{ (3)}}\\
2{{\rm{x}}^2} - x + 2m = 0{\rm{ (4)}}
\end{array} \right.$
Nhân hai vế của (3) với 2 rồi trừ từng vế vế ta được
$\left( { - 2m - 1} \right)x = 0$
+ Hoặc $x = 0$, thay vào (3) được $m = 0$
+ Hoặc $m = - \frac{1}{2}$, thay vào (4) được
${x^2} - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow {x_1} = 1,{x_2} = - \frac{1}{2}$
b) Cách 1. Trước hết phải có nghiệm chung theo trên $m = 0$, $m = - \frac{1}{2}$
Với $m = 0$: (1), (2) trở thành ${x^2} - x = 0$ và $2{{\rm{x}}^2} - x = 0$. Chúng chỉ có 1 nghiệm chung : loại $m = 0$
Với $m = - \frac{1}{2}$: (1) ,(2) trở thành
${x^2} - \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} = 0$ và $2{{\rm{x}}^2} - x - 1 = 0$
Chúng có hai nghiệm chung là ${x_1} = 1,{x_2} = - \frac{1}{2}$. Vậy $m = - \frac{1}{2}$ lấy được
Cách 2: Dùng tỉ số các hệ số
Xét riêng trường hợp $m = 0$, ta đã thấy 2 phương trình chỉ có 1 nghiệm chung $ \Rightarrow $ loại $m = 0$.
Trường hợp $m \ne 0$: để 2 phương trình có 2 nghiệm chung điều kiện là:
$\left\{ \begin{array}{l}
{\Delta _1}{\rm{ hoặc}} {\Delta _2} > 0\\
\frac{1}{2} = m + 1 = \frac{m}{{2m}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\Delta _2} = 1 - 16m > 0\\
m + 1 = \frac{1}{2}
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < \frac{1}{{16}}\\
m = - \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - \frac{1}{2}$
c) Để (1) và (2) tương đương với 2 trường hợp
Hoặc cả hai cùng vô nghiệm: điều kiện là
$\left\{ \begin{array}{l}
{\Delta _1} = {\left( {m + 1} \right)^2} - 4m < 0\\
{\Delta _2} = 1 - 16m < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {m - 1} \right)^2} < 0\\
m > \frac{1}{{16}}
\end{array} \right.$ vô nghiệm
Hoặc cả hai cùng có 2 nghiệm chung: theo câu 2 ) $m = - \frac{1}{2}$.
Vậy để hai phương trình tương đương $ \Leftrightarrow m = - \frac{1}{2}$
d) Trước hết (1) và (2) đều phải có 2 nghiệm
$ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\Delta _1} = {\left( {m - 1} \right)^2} > 0\\
{\Delta _2} = 1 - 16m > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow m < \frac{1}{{16}}$
Nghiệm của (1) là ${x_{1,2}} = \frac{{m + 1 \pm \left( {m - 1} \right)}}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = m\\
{x_2} = 1
\end{array} \right.$
Để nghiệm xen kẽ nhau thì (2) phải có 1 nghiệm trong khoảng ${x_1},{x_2}$và 1 nghiệm ngoài khoảng ${x_1},{x_2}$ điều kiện là $F\left( {{x_1}} \right)f\left( {{x_2}} \right) < 0$
$ \Leftrightarrow \left( {2{m^2} - m + 2m} \right)\left( {2 - 1 + 2m} \right) < 0 \Leftrightarrow m{\left( {2m + 1} \right)^2} < 0$
$ \Leftrightarrow m < 0,m \ne \frac{1}{2}$ ( đều thỏa mãn $m < \frac{1}{{16}}$)
Vậy các giá trị của m lấy được là $m < 0,m \ne \frac{1}{2}$
e) Để các nghiệm ${x_1},{x_2}$ của (1) nằm trong khoảng các nghiệm của (2) điều kiện là:
$\left\{ \begin{array}{l}
2.F\left( {{x_1}} \right) < 0\\
2.F\left( {{x_2}} \right) < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2{m^2} + m < 0\\
2m + 1 < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow m < - \frac{1}{2}$
f) Gọi các nghiệm của (2) là ${x_3},{x_4}$. Biểu thức của ${x_3},{x_4}$ khá phức tạp nên ta phải làm như sau
Để ${x_3},{x_4}$ trong khoảng 2 nghiệm của (1) điều kiện là
$\left\{ \begin{array}{l}
1.f\left( {{x_3}} \right) < 0\\
1.f\left( {{x_4}} \right) < 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2}_3 - \left( {m + 1} \right){x_3} + m < 0{\rm{ (5)}}\\
{x^2}_4 - \left( {m + 1} \right){x_4} + m < 0{\rm{ (6)}}
\end{array} \right.$
Xét VT (5) $ = \frac{1}{2}\left( {2{{\rm{x}}^2}_3 - 2m{{\rm{x}}_3} - 2{{\rm{x}}_3} + 2m} \right)$
$ = \frac{1}{2}\left( {2{{\rm{x}}^2}_3 - {{\rm{x}}_3} + 2m - 2m{{\rm{x}}_3} - {x_3}} \right)$
Chú ý rằng $2{{\rm{x}}^2}_3 - {{\rm{x}}_3} + 2m = 0$ do ${x_3}$ là nghiệm của (2)
$ \Rightarrow VT(5) = \frac{1}{2}\left( { - 2m{{\rm{x}}_3} - {x_3}} \right) = - \frac{1}{2}{x_3}\left( {2m + 1} \right)$
Tương tự ta cũng có VT (6) $ = - \frac{1}{2}{x_4}.\left( {2m + 1} \right)$
Hệ (5), (6) trở thành $\left\{ \begin{array}{l}
- \frac{1}{2}{x_3}\left( {2m + 1} \right) < 0{\rm{ (7)}}\\
- \frac{1}{2}{x_4}\left( {2m + 1} \right) < 0{\rm{ (8)}}
\end{array} \right.$
Đến đây ta mới thay ${x_{3,4}} = \frac{{1 \pm \sqrt {1 - 16m} }}{4}$ vào (7), (8) ta được
$\left\{ \begin{array}{l}
\left( {1 + \sqrt {1 - 16m} } \right)\left( {2m + 1} \right) > 0\\
\left( {1 - \sqrt {1 - 16m} } \right)\left( {2m + 1} \right) > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2m + 1 > 0\\
1 - \sqrt {1 - 16m} > 0
\end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > - \frac{1}{2}\\
0 < m < \frac{1}{{16}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < \frac{1}{{16}}$
|
|
|
Đăng bài 21-05-12 09:29 AM
|
|