a/ Khi $a=
\frac{ 1}{4}: x \leq \frac{ 1}{16}+ \sqrt{ x- \frac{ 1}{4}}$
$\Leftrightarrow
x- \frac{ 1}{16} \leq \sqrt{ x- \frac{ 1}{4}}$
Với điều kiện
trên, hai vế của bất phương trình không âm, bình phương hai vế:
$x^{2} -
\frac{ x}{8} + \frac{ 1}{256} \leq x- \frac{ 1}{4} \Leftrightarrow x^{2} -
\frac{ 9}{8}x+ \frac{ 65}{256} \leq 0$
$\Leftrightarrow
\frac{ 5}{16} \leq x \leq \frac{ 13}{16}$ giao với $x \geq \frac{ 1}{4}$ được $\frac{
5}{16} \leq x \leq \frac{ 13}{16}$
b/ $ x \leq
a^{2}+ \sqrt{ x-a}$
Điều kiện: $x
\geq a$
Đặt $\sqrt{
x-a}=t, t \geq 0; x= t^{2}+a$
Thay theo $t :
t^{2}+a \leq a^{2}+t$
$\Leftrightarrow
t^{2}-t +a-a^{2} \leq 0$
Vế trái là
tam thức bậc hai có hai nghiệm: $t_{1}=a, t_{2}=1-a$
$t_{1}-t_{2}=a-1+a=2a-1$
Nếu $a>
\frac{ 1}{2} \Rightarrow t_{1}>t_{2}$
$a <
\frac{ 1}{2} \Rightarrow t_{1}<t_{2}$
Trường hợp
$a> \frac{ 1}{2} \Rightarrow 1-a \leq t \leq a \Leftrightarrow 1-a \leq
\sqrt{ x-a} \leq a$
Nếu $a>1
\Rightarrow 1-a \leq \sqrt{ x-a} \forall x \geq a $
$ \sqrt{
x-a} \leq a \Leftrightarrow x-a \leq a^{2} \Leftrightarrow x \leq a^{2}+a $
Nghiệm của
bất phương trình là: $a \leq x \leq a^{2}+a$
Nếu $\frac{ 1}{2}
<a<1$:
$1-a \leq \sqrt{ x-a} \leq a $
$\Leftrightarrow \left( 1-a \right)^{2} \leq x-a \leq a^{2}$
$\Leftrightarrow
1-a +a^{2} \leq x \leq a^{2}+a$
Nghiệm của
bất phương trình là :
$a^{2}-a+1 \leq x a^{2}+a$
Trường hợp
$ a < \frac{ 1}{2}: a \leq \sqrt{ x-a} \leq 1-a $
Nếu $ 0<a<\frac{
1}{2} \Rightarrow a^{2} \leq x-a \leq 1-2a +a^{2}$
$\Leftrightarrow
a^{2}+a \leq x \leq a^{2}-a+1$
$a<0: a
\leq \sqrt{ x-a} \forall x \geq a$ đúng.
$\sqrt{
x-a} \leq 1-a \Leftrightarrow x-a \leq 1-2a +a^{2}$
$\Leftrightarrow
x \leq a^{2}-a+1$
Nghiệm của
bất phương trình là:$ a \leq x \leq a^{2}-a+1$