Bài 105487

Question

Cho parabol: $y = {x^2}+(2m + 1)x + {m^2} - 1$. Trong đó $m$ là tham số.
a) Tìm quỹ tích đỉnh của parabol khi $m$ biến thiên
b) Chứng minh rằng khoảng cách giữa các giao điểm của đường thẳng $y = x$ với parabol không phụ thuộc vào $m$.
c) Chứng minh rằng với mọi giá trị của $m$, parabol luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/24/2012 10:22:21 AM

a) Tọa độ đỉnh của parabol $y = {x^2} + (2m + 1)x + {m^2} - 1$ là
    $x = \frac{{ - b}}{{2a}} = \frac{{ - (2m + 1)}}{2} = - m - \frac{1}{2}$,             $(1)$
    $y = \frac{{ - \Delta }}{{4a}} = \frac{{ - (4m + 5)}}{4} = - m - \frac{5}{4}$           $(2)$
Khử $m$ từ $(1)$ và $(2)$ ta được quỹ tích của đỉnh của parabol là đường thẳng $y = x - \frac{3}{4}$.

b) Hoành độ giao điểm của đường thẳng $y = x$ và parabol
    $y = {x^2} + (2m + 1)x + {m^2} - 1$
là nghiệm của phương trình: ${x^2} + (2m - 1)x + {m^2} - 1 = x$
$ \Leftrightarrow {(x + m)^2} = 1 \Leftrightarrow {x_1} = - 1 - m, {\rm{ }}{x_2} = 1 - m$
Do ${x_2} - {x_1} = (1 - m) - ( - 1 - m = 2,{\rm{ }}\forall {{m}}$ nên hai đường thẳng ${x_1} = - 1 - m,{\rm{ }}{{\rm{x}}_2} = 1 - m$ định trên đường thẳng $y = x$ là những đoạn thẳng không đổi, $\forall m$. Đó là điều phải chứng minh.

c) Viết lại parabol dưới dạng : $y = {(x + m)^2} + x - 1$.
Khi đó phương trình: ${(x + m)^2} + x - 1 = x - 1 \Leftrightarrow {({x^2} + m)^2} = 0$
luôn có nghiệm kép $x = - m$, $\forall m$.
Vậy parabol đã cho luôn tiếp xúc với đường thẳng $y = x - 1,{\rm{ }}\forall {\rm{m}}$

Bài 105487

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105487

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan