Bài 105512

Question

Chứng minh các bất đẳng thức:
a/ $\frac{ ab}{a+b}+ \frac{ bc}{b+c}+\frac{ ca}{c+a} \leq \frac{ a+b+c}{2} $ đúng $\forall a>0, b>0, c>0$
b/ $\frac{ a}{a+b}+ \frac{ b}{b+c}+ \frac{ c}{c+a} < \sqrt{ \frac{ a}{b+c}}+ \sqrt{ \frac{ b}{c+a}}+ \sqrt{ \frac{ c}{a+b}}$ đúng $\forall a>0, b>0, c>0$
c/ $ \forall a>0, b>0: \left(\frac{ 1}{a} \right)^{3} + \left( \frac{ a}{b} \right)^{3} + b^{3} \geq \frac{ 1}{a}+ \frac{ a}{b}+b$
d/ $\forall x>0, y>0, z>0:$
$\frac{ 2 \sqrt{ x}}{x^{3}+ y^{2}}+ \frac{ 2 \sqrt{ y}}{y^{3}+z^{2}}+\frac{ 2 \sqrt{ z}}{z^{3}+x^{2}} \leq \frac{ 1}{ x^{2} }+ \frac{ 1}{y^{2}}+ \frac{ 1}{z^{2}}$

score 1 · Answer 1

a/ Xuất phát từ :$\left( a+b   \right)^{2} \geq 4ab \Leftrightarrow \frac{ ab}{a+b} \leq \frac{ a+b}{4} $
Tương tự $\frac{ bc}{b+c} \leq \frac{ b+c}{4}; \frac{ ac}{a+c} \leq \frac{ a+c}{4}$
Cộng từng vế $\frac{ ab}{a+b}+ \frac{ bc}{b+c}+\frac{ ca}{c+a} \leq \frac{ a+b+c}{2} $

b/ Với $a>0; b>0; c>0: \frac{ a}{a+b} < \frac{ a+c}{a+b+c}$
Vì $\frac{ a}{a+b} – \frac{ a+c}{a+b+c}= \frac{ a^{2} +ab +ac – a^{2} –ab –ac -bc}{\left( a+b \right) \left(    a+b+c\right) }= \frac{ -bc}{\left( a+b \right) \left(    a+b+c\right) }<0 $
Tương tự $\frac{ b}{b+c}< \frac{ a+b}{a+b+c}; \frac{ c}{a+c}< \frac{ b+c}{a+b+c}$
Cộng từng vế: $\frac{ a}{a+b}+ \frac{ b}{b+c}+ \frac{ c}{c+a} < \frac{ 2 \left(a+b+c    \right) }{a+b+c}=2$ $(1)$
Bất đẳng thức Cosi áp dụng cho $a$ và $b+c$
$a+ \left(   b+c \right) \geq 2 \sqrt{ a \left( b+c   \right) } \Leftrightarrow \frac{ 1}{ \sqrt{ a \left( b+c   \right) }} \geq \frac{ 2}{\sqrt{a+b+c}}$
$ \sqrt{ \frac{ s}{b+c}}= \frac{ a}{ \sqrt{ a \left( b+c   \right) }} \geq \frac{ 2}{a+b+c}$
Tương tự $\sqrt{ \frac{ b}{c+a}}lon \frac{ 2b}{a+b+c}; \sqrt{ \frac{ c}{a+b}} \geq \frac{ 2c}{a+b+c}$
Cộng từng vế $\sqrt{ \frac{ a}{b+c}}+ \sqrt{ \frac{ b}{c+a}}+ \sqrt{ \frac{ c}{a+b}} \geq \frac{ 2 \left( a+b+c   \right) }{a+b+c}=2$
$\frac{ a}{a+b}+ \frac{ b}{b+c}+ \frac{ c}{c+a} <2$
$\sqrt{ \frac{ a}{b+c}}+ \sqrt{ \frac{ b}{c+a}}+ \sqrt{ \frac{ c}{a+b}} \geq 2$
$\Rightarrow $ Đpcm.

c/ $\left(\frac{ 1}{a}   \right)^{3} + \left( \frac{ a}{b}   \right)^{3} + b^{3} \geq \frac{ 1}{a}+ \frac{ a}{b}+b$
Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho ba số dương:
$ \left( \frac{ 1}{a} \right)^{3}+1+1 \geq 3 \sqrt[ 3]{ \frac{ 1}{a^{3}}}=3.\frac{ 1}{3}; \left( \frac{ a}{b}   \right)^{3} +1+1 \geq 3 \sqrt[3]{ \left( \frac{ a}{b} \right)^{2} }=3. \frac{ a}{b}$
$b^{3}+1+1 \geq 3 \sqrt[3]{b^{3}} =3b$
$\Rightarrow \left(\frac{ 1}{a}   \right)^{3} + \left( \frac{ a}{b}   \right)^{3} + b^{3} +6 \geq 3 \left( \frac{ 1}{a}+ \frac{ a}{b}+ b   \right) = \frac{ 1}{a}+ \frac{ a}{b}+b+2 \left(\frac{ 1}{a}+ \frac{ a}{b}+b    \right) $
Nhưng $2 \left(   \frac{ 1}{a}+ \frac{ a}{b}+b \right) \geq 2. 3 \sqrt[3]{ \frac{ 1}{a}. \frac{ a}{b}.b} =6$
$\Rightarrow \left(\frac{ 1}{a}   \right)^{3} + \left( \frac{ a}{b}   \right)^{3} + b^{3}+b \geq \frac{ 1}{a}+ \frac{ a}{b}+b + 2 \left(\frac{ 1}{a}+ \frac{ a}{b}+b   \right) \geq \frac{ 1}{a}+ \frac{ a}{b}+b +6$
$\Leftrightarrow \left( - \frac{ 1}{a}   \right)^{2} + \left(\frac{ a}{b}    \right)^{2} +b^{3} \geq \frac{ 1}{a}+ \frac{ a}{b}+b $

Có đẳng thức khi $a=b=1$
d/ Áp dụng bất đẳng thức Cosi:
$x^{2} +y^{2} \geq 2 \sqrt{ x^{2} y^{2}}= 2xy \sqrt{ x} \Leftrightarrow \frac{ 2 \sqrt{ x}}{x^{3}+y^{2}} \leq \frac{ 1}{xy}$
Tương tự: $\frac{ 2 \sqrt{ y}}{y^{3}+z^{2}} \leq \frac{ 1}{yz}; \frac{ 2 \sqrt{ z}}{y^{3}+x^{2}} \leq \frac{ 1}{zx}$
Cộng từng vế:$ \frac{ 2 \sqrt{ x}}{x^{3}+y^{2}} \leq \frac{ 1}{xy}+\frac{ 2 \sqrt{ y}}{y^{3}+z^{2}} +\frac{ 2 \sqrt{ z}}{y^{3}+x^{2}} \leq \frac{ 1}{xy}+\frac{ 1}{yz}+\frac{ 1}{zx}$
Nhưng $\begin{cases} \frac{ 1}{xy} \leq \frac{ 1}{2} \left( \frac{ 1}{ x^{2} }+ \frac{ 1}{y^{2}} \right) \\ \frac{ 1}{yz} \leq \frac{ 1}{2} \left( \frac{ 1}{y^{2}} + \frac{ 1}{z^{2}}   \right)   \\   \frac{ y}{ z^{2}} \leq \frac{ 1}{2} \left( \frac{ 1}{z^{2}} \frac{ 1}{ x^{2} } \right)   \end{cases} \Rightarrow \frac{ 1}{xy}+\frac{ 1}{yz}+\frac{ 1}{zx} \leq \frac{ 1}{ x^{2} }+ \frac{ 1}{y^{2}}+ \frac{ 1}{z^{2}} $ đpcm

Bài 105512

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105512

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan