Bài 105515

Question

Cho các đường:

$y = \frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}}(H)$ ;

$y = - x + m (T)$
1) Xác định để

$(T)$ cắt

$(H)$ tại hai điểm

$A, B$ đối xứng nhau qua đường thẳng

$(C)$ :

$y = x + 3$ .
2) Tìm các giá trị

$k$ sao cho trên

$(H)$ có hai điểm khác nhau

$P, Q$ thỏa mãn điều kiện:

$\left\{ \begin{array}{l} {x_P} + {y_P} = k\\ {x_Q} + {y_Q} = k \end{array} \right.$
Chứng minh rằng khi đó

$P$ và

$Q$ cùng thuộc một nhánh của

$(H)$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/24/2012 2:07:43 PM

$1)$ Gọi

${x_A},{x_B}$ là hoành độ của

$A, B$ , khi đó

${x_A},{x_B}$ là nghiệm của phương trình

$\frac{{{x^2} - 2x + 2}}{{x - 1}} = - x + m \Leftrightarrow 2{x^2} - (m + 3)x + m + 2 = 0,{\rm{ x}} \ne {\rm{1}}$

$(1)$
Từ đó

${x_A} + {x_B} = \frac{{m + 3}}{2}$

$(2)$
Hệ số góc của

$(T)$ là

${k_T} = - 1$ , hệ số góc của

$(C)$ :

$y = x + 3$ là

${k_C} = 1$ , do đó

${k_C}.{k_T} = - 1$ , vậy

$(T)$ vuông góc với

$(C)$ .
Gọi

${x_I}$ là hoành độ giao điểm

$I$ của

$(T)$ và

$(C)$ thì

${x_I}$ là nghiệm của phương trình

$x + 3 = - x + m \Rightarrow {x_I} = \frac{{m - 3}}{2}$

$(3)$
Do đó

$A, B$ đối xứng với nhau qua

$(C)$ nên

$I$ là trung điểm của

$AB$ , do đó:

${x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2}$

$(4)$
Thế

$(2)$ và

$(3)$ vào

$(4)$ ta có

$(m - 3)/2 = (m + 3)/4 \Leftrightarrow m = 9$
Dễ thấy rằng với

$m = 9$ thì

$(1)$ luôn có hai nghiệm

$\ne 1$
Đáp số

$m = 9$

$2)$

$\left\{ \begin{array}{l} {x_P} + {y_P} = k\\ {x_Q} + {y_Q} = k \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {y_P} = - {x_P} + k\\ {y_Q} = - {x_Q} + k \end{array} \right.$

$\Rightarrow {x_P},{x_Q}$ là hoành độ giao điểm của

$(H)$ và

$(T)$ trong đó m được thay bởi

$k$ . Để

${x_P} \ne {x_Q}$ thì

$(1)$ có hai nghiệm

$\ne 1$ .

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta = {(k + 3)^2} - 8(k + 2) = {k^2} - 2k - 7 > 0\\ {2.1^2} - (k + 3).1 + k + 2 \ne 0 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow k < 1 - 2\sqrt 2$ hoặc

$k > 1 + 2\sqrt 2$

Đặt

$f(x) = 2{x^2} - (k + 3)x + k + 2$ , ta có:

$2f(1) = 2[{2.1^2} - (k + 3).1 + k + 2] = 2 > 0$

$\Rightarrow {x_P},{x_Q} < 1$ hoặc

${x_P},{x_Q} > 1$ .
Lại do

$x = 1$ là tiệm cận đứng của

$(H)$ nên

${x_P},{x_Q}$ cùng thuộc một nhánh của

$(H)$

Bài 105515

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105515

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan