Bài 105538

Question

Cho hàm số:

$y = 4{x^3} - 3x + 1$
1) Giả sử

$A$ là một điểm trên đồ thị có hoành độ

${x_A} = 1$ và

$(d)$ là đường thẳng đi qua

$A$ , có hệ số góc

$m$ . Hãy xác định

$m$ để

$(d)$ cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt

$M, N$ khác với

$A$ .
2) Giả sử

$P$ là một điểm trên

$d$ , với hoành độ

${x_P}$ thỏa mãn:

$\frac{{{x_A} - {x_M}}}{{{x_N} - {x_A}}} = \frac{{{x_P} - {x_M}}}{{{x_P} - {x_N}}}$
(

${x_M},{x_N}$ là hoành độ của các điểm

$M, N$ ). Tìm quỹ tích của điểm

$P$ khi

$m$ biến thiên

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/24/2012 3:06:16 PM

$1)$ Theo giả thiết

${x_A} = 1$ nên

${y_A} = {4.1^3} - 3.1 + 1 = 2$ , do đó phương trình đường thẳng

$d$ là

$y - 2 = m(x - 1){\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{y}} = mx - m + 2$
Hoành độ

${x_A},{x_M},{x_N}$ của

$A, M, N$ là nghiệm của phương trình:

$4{x^3} - 3x + 1 = mx - m + 2$

$\Leftrightarrow 4{x^3} - (3 + m)x + m - 1 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(4{x^2} + 4x + 1 - m) = 0$

$\Leftrightarrow (x - 1)\left[ {{{(2x + 1)}^2} - m} \right] = 0$
Do

${x_A} = 1$ nên

${x_M},{x_N}$ là nghiệm của phương trình:

${(2x + 1)^2} - m = 0$

$(1)$
Để

$M \ne N$ và

$\ne A$ ta cần có:

$\left\{ \begin{array}{l} m > 0\\ {(2.1 + 1)^2} - m \ne 0 \end{array} \right.{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{9}} \ne m > 0$

$2)$

${x_A} = 1$ nên đẳng thức đã cho trở thành:

$\frac{{1 - {x_M}}}{{{x_N} - 1}} = \frac{{{x_P} - {x_M}}}{{{x_P} - {x_N}}} \Rightarrow (1 - {x_M})({x_P} - {x_N}) = ({x_N} - 1)({x_P} - {x_M})$

$\Leftrightarrow \left[ {2 - ({x_M} + {x_N})} \right]{x_P} = ({x_M} + {x_N}) - 2{x_M}{x_N}$

$\Rightarrow {x_P} = \frac{{\left( {{x_M} + {x_N}} \right) - 2{x_M}{x_N}}}{{2 - ({x_M} + {x_N})}}$
Do

${x_M},{x_N}$ là nghiệm của

$(1)$ , theo định lý Viet ta có:

${x_M} + {x_N} = - 1$ ,

${x_M}{x_N} = (1 - m)/4$ .
Từ đó ta được:

${x_P} = \left[ { - 1 - 2.\left( {\frac{{1 - m}}{2}} \right)} \right]/(2 + 1) = \frac{{m - 3}}{6}$

$(2)$
Và

${y_P} = m{x_P} - m + 2$

$(3)$

Khử

$m$ khỏi

$(2)$ và

$(3)$ ta được

${y_P} = 6x_P^2 - 3{x_P} - 1$ .
Lại do

$m \ne 9$ nên

${x_P} \ne (9 - 3)/6 = 1$ ;

$m > 0$ nên

${x_P} = - 1/2 + m/6 > - 1/2$

Vậy quỹ tích của

$P$ là nhánh parabol

$y = 6{x^2} - 3x - 1,{\rm{ x}} > - 1/2$ bỏ điểm có hoành độ

$1$

Bài 105538

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 105538

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan