1. Với x≠0 thì f/(x)=2xsin1x−cos1x.
Với x=0,f(x)−f(0)x−0=xsin1x
Vì 0≤|xsin1x|≤|x| nên limx→0(xsin1x)=0
Do đó f′(0)=0.
2. Ta có: f′(x)={2xsin1x−cos1x;x≠00;x=0
Khi x→0 thì xsin1x→0, còn cos1x lại không có giới hạn nên f/(x) không có giới hạn khi x→0. Thật vậy, nếu limx→0f/(x)=a thì cos1x=2xsin1x−f/(x) cũng có giới hạn là a khi x→0. Điều này vô lí.
Vậy f′ không liên tục tại x=0.
(g(x)=cos1x
không có giới hạn do :
limx→1π2+kπg(x)=0(k→+∞)
limx→1n2πg(x)=1(n→+∞)
Như vậy :
Khi x→0 g(x) tiến tới 2 giá trị khác nhau ⇒g(x) không tồn tại
giới hạn khi x→0