Bài 106005

Question

Cho tứ diện $ABCD$ biết $A(2;3;1), B(4;1;-2), C(6;3;7), D(-5;-4;8)$. Tìm độ dài đường cao của tứ diện xuất phát từ đỉnh $D$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/29/2012 8:46:46 AM

Ta cần tìm $|\overrightarrow{DH} |$ (H là hình chiếu vuôn góc của D lên mặt phẳng $(ABCD)$ ).
Trước hết ta cần tìm vecto $\overrightarrow{DH} $ thỏa mãn ba điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{DH}\bot\overrightarrow{AB} \\ \overrightarrow{DH}\bot\overrightarrow{AH} \\\overrightarrow{DH}\bot\overrightarrow{AC} \end{array} \right.$
Giả sử $H(x;y;z)$ thế thì:
$\overrightarrow{DH}=(x+5; y+4; z-8) $
$\overrightarrow{AH}=(x-2; y-3; z-1) $
Mặt khác ta dễ thấy: $\overrightarrow{AB}=(2; -2; -3), \overrightarrow{AC}=(4; 0; 6) $
Vậy: $\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{DH}\bot\overrightarrow{AB} \\ \overrightarrow{DH}\bot\overrightarrow{AH} \\\overrightarrow{DH}\bot\overrightarrow{AC} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2(x+5)-2(y+4)-3(z-8)=0\\ (x+5)(x-2)+(y+4)(y-3)+(z-8)(z-1)=0\\4(x+5)+6(z-8)=0 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2x-2y-3z=-26\\ 4x+6z=28\\x^2+y^2+z^2+3x+y-9z=14 \end{array} \right.$
Giải hệ này với ba ẩn $x; y; z$ ta được:
$x_1=-\frac{2}{7}; y_1=\frac{38}{7}; z_1=\frac{34}{7} \Rightarrow H(-\frac{2}{7};\frac{38}{7};\frac{34}{7} ) $
$x_2=-5; y_2=-4; z_2=8$. Đây chính là tọa độ của đỉnh $D$
Vậy $|\overrightarrow{DH} |=\sqrt{(-\frac{2}{7}+5 )^2+(\frac{38}{7}+4 )^2+(\frac{34}{7}-8 )^2}=\frac{1}{7}\sqrt{5929}=11 $

Bài 106005

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106005

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan