Bài 106011

Question

Cho 4 điểm $S(3;1;-2), A(5;3;-1), B(2;3;-4), C(1;2;0)$
a) Chứng minh rằng hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABC$ là tam giác đều và ba mặt bên là các tam giác vuông cân
b) Tính tọa độ điểm $D$ đối xứng với điểm $C$ qua đường thẳng $AB$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 5/29/2012 9:42:04 AM

Theo đề bài ra ta có tọa độ của các điểm $S, A, B, C$
Ta có: $AB=\sqrt{(2-5)^2+(3-3)^2+(-4+1)^2 }=3\sqrt{2} $
$AC=\sqrt{(1-5)^2+(2-3)^2+(0+1)^2 }=3\sqrt{2} $
$BC=\sqrt{(1-2)^2+(2-3)^2+(0+4)^2 }=3\sqrt{2} $
Nên $AB=AC=BC$
Do đó tam giác $ABC $ là tam giác đều

Ta có: $\overrightarrow{SA}=(2;2;1), \overrightarrow{SB}=(-1;2;-2), \overrightarrow{SC}=(-2;1;2) $
Do đó: $\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB}=2.(-1)+2.2+1.(-2)=0\Rightarrow \overrightarrow{SA}\bot \overrightarrow{SB} $
$\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SC}=(-1).(-2)+2.1+(-2).2=0\Rightarrow \overrightarrow{SB}\bot \overrightarrow{SC} $
$\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{SA}=2.(-2)+2.1+1.2=0\Rightarrow \overrightarrow{SB}\bot \overrightarrow{SA} $
Ta có $SA=|\overrightarrow{SA} |=\sqrt{2^2+2^2+1}=3, SB=|\overrightarrow{SB} |=\sqrt{(-1)^2+2^2+(-2)^2}=3 $
$SC=|\overrightarrow{SC} |=\sqrt{(-2)^2+1+2^2}=3 $ nên $SA=SB=SC$
Vậy các mặt bên $SAB, SBC, SAC$ là các tam giác vuông cân

b) Theo câu a, tam giác $ABC$ đều nên gọi $I$ là trung điểm của $AB$ và trung tuyến $CI$ là đường trung trực $AB$
Trên tia đối của tia $IC$ lấy điểm $D$ sao cho $ID=IC$ thì $D$ là điểm đối xứng với điểm $C$
Do $I$ là truung điểm $AB$ nên: $\left\{ \begin{array}{l} x_I=\frac{1}{2}(x_A+x_B) \\ y_I=\frac{1}{2}(y_A+y_B) \\z_I=\frac{1}{2}(z_A+z_B) \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_I=\frac{5+2}{2} \\ y_I=\frac{3+3}{2}\\z_I=\frac{-1-4}{2} \end{array} \right. $
$\Rightarrow I(\frac{7}{2};3;-\frac{5}{2} )$
Do $D$ là điểm đối xứng với $C$ qua $I$ nên:
$\left\{ \begin{array}{l} x_D=2x_I-x_C\\ y_D=2y_I-y_C\\z_D=2z_I-z_C\ \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_D=2.7/2-1\\ y_D=2.3-2\\z_D=2.(-5/2)-0\end{array} \right. \Rightarrow D(6;4;-5)$

Bài 106011

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106011

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan