Bài 106186

Question

Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn

$Oxyz$ ta xét đường thẳng có phương trình:

$\frac{x}{4} = \frac{{y - 4}}{3} = \frac{{z + 1}}{-2}\,\,\,(\Delta )$
và mặt phẳng có phương trình:

$x – y + 3z + 8 = 0 (P)$
Viết phương trình chính tắc của hình chiếu vuông góc của đường thẳng

$(\Delta )$ trên mặt phẳng

$(P).$

score 0 · Answer 1

$(\Delta )$ qua

$A(0,4,-1)$ và có véctơ chỉ phương

$\overrightarrow {u_1}(4,3,-2)$ .Mặt phẳng

$(P)$ có vectơ pháp tuyến

$\overrightarrow {n_2}(1,-1,3).$ Mặt phẳng

$(Q)$ chứa

$(\Delta )$ và vuông góc với

$(P)$ là mặt phẳng qua

$A$ và nhận tích vô hướng [

$\overrightarrow {u_1},\overrightarrow {n_2}$ ]

$=(7;-14;-7)$ làm véctơ pháp tuyến.Do đó

$(Q)$ có phương trình :

$x-2y-z+7=0$
Hình chiếu vuông góc của

$(\Delta )$ trên mặt phẳng

$(P)$ chính là giao tuyến của

$(P)$ và

$(Q)$ , do đó phương trình

$(d) \begin{cases}x-y+3z+8=0 \\ x-2y-z+7=0 \end{cases}$
Trong phương trình

$(d)$ ,cho

$z=0\Rightarrow y=-1,x=-9$ do đó

$B(-9,-1,0)$ là một điểm của

$(d)$ ,từ phương trình

$(d)$ suy ra

$\overrightarrow {v} =\left( {\left| \begin{array}{l} - 1\\ - 2 \end{array} \right.\,\,\left. \begin{array}{l} 3\\ - 1 \end{array} \right|\,,\left| \begin{array}{l} 3\\- 1 \end{array} \right.\,\,\left. \begin{array}{l} 1\\ 1 \end{array} \right|\,,\left| \begin{array}{l} 1\\ 1 \end{array} \right.\,\,\left. \begin{array}{l} - 1\\ - 2 \end{array} \right|} \right)=(7,4,-1)$
là véctơ chỉ phương của

$(d)$ , do đó phương trình chính tắc của hình chiếu vuông góc của

$(\Delta )$ trên

$(P)$ là