Bài 106278

Question

Xét chiều biến thiên của các hàm số:
a) $y = \sqrt{x^3}$ trong khoảng $(0 ; + \infty )$
b) $y = \frac{x}{x-1}$
c) $y = \sqrt{x^2}$
d) $y = - x^2 + 4x$.

Kit Nguyen · Answer 1 · 5/31/2012 9:37:27 AM

a) Tập xác định: $x\geq 0$
           $\frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{\sqrt{x_2^3} - \sqrt{x_1^3}}{x_2 - x_1} = \frac{\sqrt{x_2} - \sqrt{x_1}}{x_2 - x_1} (x_2 + \sqrt{x_1x_2} + x_1)$

$\Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{(x_2 + \sqrt{x_1x_2} + x_1)}{\sqrt{x_2} + \sqrt{x_1}} > 0 $
Vậy hàm số đồng biến trong khoảng $(0 ; +\infty )$

b) Miền xác định $\mathbb{D} =$ {$x | x\in \mathbb{R}; x\neq 1$ }
$\Delta y = \frac{x_2}{x_2 - 1} - \frac{x_1}{x_1 - 1} = \frac{-(x_2 - x_1)}{(x_2 - 1)(x_1 -1)} \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{-1}{(x_2 - 1)(x_1 -1)}$

* Xét trong khoảng $(1; +\infty )$. Ta lấy $1<x_1<x_2<+\infty $ . Trong khoảng này thì :
$x_1 - 1 > 0 ; x_1 - 1>0      \Rightarrow (x_2 -1)(x_1 - 1) > 0$
Suy ra $\frac{\Delta y}{\Delta x} < 0$     suy ra Hàm số nghịch biến trong khoảng $(1; +\infty )$.

* Xét khoảng $(- \infty ; 1)$    Trong khoảng này thì:
$x_1 - 1 < 0 ; x_1 - 1<0      \Rightarrow (x_2 -1)(x_1 - 1) > 0$
Suy ra $\frac{\Delta y}{\Delta x} < 0$     suy ra Hàm số nghịch biến trong khoảng $(-\infty; 1 )$.

Kết quả: Hàm số $\frac{x}{x-1}$ nghịch biến trên tập xác định của nó.

c) Tập xác định $\mathbb{D} = \mathbb{R}$
$y = \sqrt{x^2}    \Rightarrow      y= |x| $
Hàm số đồng biến khi $0\leq x< +\infty $;      Hàm số nghịch biến khi $x<0$

d) Tập xác định $\mathbb{D} = \mathbb{R}$
$y = -x^2+ 4x        \Rightarrow    y = -x^2 + 4x - 4+4 $
                              $ \Rightarrow    y = -(x^2 - 4x + 4)+4$
                                     $   \Rightarrow    y = -(x - 2)^2+4$
$\frac{\Delta y}{\Delta x}   = -(x_2 +x_1 -4)$
* Xét khoảng $(2; +\infty )$
   Với $x_2 > x_1   \Rightarrow x_2 + x_1 -4 > 0 \Rightarrow    -(x_2 + x_1 -4) < 0    \Rightarrow   \frac{\Delta y}{\Delta x} < 0 $
$\Rightarrow $   Hàm số nghịch biến trong khoảng $(2;+\infty )$.
* Xét khoảng $(-\infty; 2 )$
   Với $x_2 < x_1   \Rightarrow x_2 + x_1 -4 < 0 \Rightarrow    -(x_2 + x_1 -4) > 0    \Rightarrow \frac{\Delta y}{\Delta x}> 0 $
$\Rightarrow $   Hàm số đồng biến trong khoảng $(-\infty; 2 )$.

Bài 106278

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106278

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan