Bài 106318

Question

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) và mặt phẳng (P) có phương trình :
$(d): \frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{3}=\frac{z-2}{1} ; (P): 2x+2y+z-5=0 $
1. Chứng minh rằng đường thẳng (d) cắt mặt phẳng (P) tại điểm A. Tìm tọa độ điểm A, tính góc giữa (d) và (P)
2. Viết phương trình hình chiếu vuông góc của (d) trên (P)

score 0 · Answer 1

Ta có:
+) Đường thẳng (d) đi qua điểm $M(2; 4; 2)$ và có vtcp $\overrightarrow{u}(1; 3; 1) $
+) Mặt phẳng (P) có vtpt $\overrightarrow{n}(2; 2; 1)$
1. Xét hệ phương trình tạo bởi (d) và (P):
        $\begin{cases}\frac{x-2}{1}=\frac{y-4}{3}=\frac{z-2}{1}\\ 2x+2y+z-5=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}y=3x-2 \\ z=x\\2x+2(3x-2)+x-5=0 \end{cases}   \Leftrightarrow \begin{cases}x=1 \\ y=1\\z=1 \end{cases} $
Ta thấy (d) cắt (P) tại điểm $A(1; 1; 1)$.
Gọi $\alpha$ là góc tạo bởi (d) và (P), ta có:
        $\sin\alpha=\frac{|2.1+2.3+1.1|}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}.\sqrt{1^2+3^2+1^2} }=\frac{3}{\sqrt{11} } \Rightarrow \alpha=64,76^0$
2. Gọi $H(x; y; z)$ là hình chiếu vuông góc của M trên (P), ta có:
        $\begin{cases}H\in(P) \\ \overrightarrow{MH}//\overrightarrow{n}   \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}H\in(P) \\ \overrightarrow{MH}=k \overrightarrow{n}   \end{cases}                 \Leftrightarrow \begin{cases}2x+2y+z-5=0 \\ x-2=2k\\y-4=2k\\z-2=k \end{cases} $
$\Leftrightarrow \begin{cases}2(2k-2)+2(4+2k)+(2+k)-5=0 \\ x=2k+2 \\ y=4+2k \\ z=2+k \end{cases}   \Leftrightarrow \begin{cases}x=0 \\ y=2\\z=1\\k=-1 \end{cases}   $
        $\Rightarrow H(0; 2; 1)$
Từ đó đường thẳng $(d_1)$ là hình chiếu vuông góc của (d) trên (P) được cho bởi:
        $(d_1): \begin{cases}qua A(1; 1; 1) \\ qua H(0; 2; 1) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}qua A(1; 1; 1) \\ vtcp \overrightarrow{AH}(-1; 1; 0) \end{cases} $
        $ \Leftrightarrow (d_1): \begin{cases}x=1-t \\ y=1+t \\z=1\end{cases}, t\in R $

Bài 106318

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106318

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan