Bài 106425

Question

Cho hình chóp

$S.ABCD$ có đáy

$ABCD$ là hình vuông cạnh

$a$ . Gọi

$M$ và

$N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh

$AB$ và

$AD, H$ là giao điểm của

$CN$ và

$DM.$ Biết

$SH$ vuông góc với mặt phẳng

$ABCD$ và

$SH$ =

$a \sqrt{ 3}.$ Tính thể tích khối chóp

$S.CDNM$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng

$DM$ và

$SC$ theo

$a.$

score 0 · Answer 1

Trong đáy

$ABCD$ , do

$\Delta MAD=\Delta NDC \Rightarrow CN$ vuông góc với

$DM$ tại

$H$ .

$S_{CDNM}=S_{ABCD}- \left( S_{AMN}+S_{BCM} \right) = a^{2} - \left( \frac{ a^{2}}{8}+ \frac{ a^{2}}{4} \right) = \frac{ 5a^{2}}{8}$

$\Rightarrow V_{S_{CDMN}}= \frac{ 1}{3}. \left( \frac{ 5a^{2}}{8} \right).a \sqrt{ 3}= \frac{ 5a^{3} \sqrt{ 3}}{24}$
Theo giả thiết thì

$DM$ vuông góc

$(SCH) \Rightarrow DM$ vuông góc

$CH$

$\Rightarrow DM$ vuông góc

$SC$
Từ

$H$ kẻ

$HK$ vuông góc

$SC$ thì

$HK$ là đoạn vuông góc chung của

$SC$ và

$DM$

$\Leftrightarrow HK$ là khoảng cách giữa

$SC$ và

$DM$ .

$S_{CDM}= S_{ABCD}- \left( S_{ADM}+ S_{BCM} \right)= a^{2} - \left( \frac{ a^{2}}{4}+\frac{ a^{2}}{4} \right) = \frac{ a^{2} }{2}$

$S_{CDM}= \frac{ a^{2} }{2}= \frac{ 1}{2} CH.DM$

$\Rightarrow CH= \frac{ a^{2} }{DM}= \frac{ a^{2} }{ \sqrt{ AD^{2}+AM^{2}}}= \frac{ a^{2} }{ \frac{ a \sqrt{ 5}}{2}} =\frac{2a}{\sqrt5}$
Trong tam giác vuông

$SCH$ :

$\frac{ 1}{HK^{2}}= \frac{ 1}{SH^{2}}+ \frac{ 1}{CH^{2}}= \frac{ 1}{3 a^{2} }+ \frac{ 1}{ \frac{ 4 a^{2} }{5}}= \frac{ 1}{3 a^{2} }+ \frac{ 5}{4 a^{2} }= \frac{ 19}{12 a^{2} }\Rightarrow HK= \frac{ 2a \sqrt{ 3}}{ \sqrt{ 19}}$

Vậy