Bài 106447

Question

Cho hàm số: $y = \frac{x^2 + mx - 2m - 4}{x + 2}\,\,\,(1)$ ($m$ là tham số)
$1.$ Tìm các điểm mà đồ thị hàm số ($1$) đi qua với mọi giá trị của $m.$
$2.$ Xác định $m$ để hàm số ($1$) có cực đại và cực tiểu. Tìm quỹ tích của điểm cực đại của đồ thị khi $m$ thay đổi.
$3.$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ($C$) của hàm số ($1$) ứng với $m = -1$.

score 0 · Answer 1

$1.$ ĐK: $x \ne - 2$
$(1)\Leftrightarrow (x - 2)m = y(x + 2) - x^2 + 4\,\, (2)$
Do đó A(x;y) sẽ là điểm cố định mà với mọi m, đồ thị hàm số ($1$) đều đi qua $\Leftrightarrow x \ne 2$ và ($2$) đúng $\forall m$
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x - 2 = 0\\
y(x + 2) - {x^2} + 4 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 2\\
y = 0
\end{array} \right.$
Đồ thị luôn đi qua $A(2;0)$
$2.$ $y' = \frac{{{x^2} + 4x + 4m + 4}}{{{{(x + 2)}^2}}}$
Hàm số đạt cực đại, cực tiểu $ \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4m + 4 = 0$ có $2$ nghiệm phân biệt.
$ \Leftrightarrow \Delta ' = - 4m > 0 \Leftrightarrow m < 0$
Với $m < 0, y’$ có $2$ nghiệm phân biệt ${x_{1,2}} = 2 \pm \sqrt { - 4m} $
bảng biến thiên :

Điểm cực đại có tọa độ :
$\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} = - 2 - \sqrt { - 4m} \,\,\,(3)\\
{y_1} = \frac{{x_1^2 + m{x_1} - 2m - 4}}{{{x_1} + 2}} = {x_1} - 2 + m + \frac{{ - 4m}}{{{x_1} +
2}}\,\,(4)
\end{array} \right.$
$(3)\Leftrightarrow \sqrt { - 4m} = - \left( {{x_1} + 2} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} < - 2\\
- 4m = {\left( {{x_1} + 2} \right)^2}
\end{array} \right.$ thế vào ($4$) :
$\begin{array}{l}
\Rightarrow {y_1} = {x_1} - 2 - \frac{{{{\left( {{x_1} + 2} \right)}^2}}}{4} + \frac{{{{\left( {{x_1}
+ 2} \right)}^2}}}{{{x_1} + 2}} = 2{x_1} - \frac{{{{\left( {{x_1} + 2} \right)}^2}}}{4}\\
= - \frac{{x_1^2}}{4} + {x_1} - 1
\end{array}$
Vậy quỹ tích điểm cực đại là nửa Parabol với phương trình :
$\left\{ \begin{array}{l}
y = - \frac{{{x^2}}}{4} + x - 1\\
x < - 2
\end{array} \right.$
$3.$ Xin dành cho bạn đọc.

Bài 106447

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106447

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan