Bài 106498

Question

Cho hàm số:

$y = \frac{{x^2 + (m + 1)x - m + 1}}{x - m}$

$1.$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số ứng với

$m = 2.$

$2.$ Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm tùy ý thuộc đồ thị hàm số (với

$m = 2$ ở câu trên) tới hai đường tiệm cận luôn bằng một hằng số.

$3.$ Với giá trị nào của

$m$ thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu đồng thời giá trị cực đại và giá trị cực tiểu cùng dấu.

score 0 · Answer 1

$1.$ Xin dành cho bạn đọc.

$2.$ Xét

$M\left( {{x_0};{x_0} + 5 + \frac{9}{{{x_0} - 2}}} \right)$ tùy ý trên đồ thị (

$C$ ). Khoảng cách từ

$M$ đến các đường tiệm cận

$x – 2 = 0$ và

$y – x – 5 = 0$ lần lượt là:

$\left\{ \begin{array}{l} {h_1} = |{x_0} - 2|\\ h2 = \frac{{|{x_0} + 5 + \frac{9}{{{x_0} - 2}} - {x_0} - 5|}}{{\sqrt {1 + 1} }} = \frac{9}{{\sqrt 2 |{x_0} - 2|}} \end{array} \right.$

$\Rightarrow {h_1}{h_2} = \frac{9}{{\sqrt 2 }}$ không đổi.

$3)y' = \frac{{{x^2} - 2mx - {m^2} - 1}}{{{{(x - m)}^2}}}$ luôn có

$2$ nghiệm phân biệt.

$\Rightarrow {x_{1,2}} = m \pm \sqrt {2{m^2} + 1}$ do đó hàm số luôn có cực đại, cực tiểu.
Nếu đồ thị không cắt trục hoành thì

$ymax ;ymin$ trái dấu. Nếu đồ thị cắt trục hoành thì

$ymax;ymin$ cùng dấu.
Vậy YCBT

$\Leftrightarrow {x^2} + (m + 1)x - m + 1 = 0$ có

$2$ nghiệm phân biệt

$\ne m$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta = {m^2} + 6m - 3 > 0\\ {m^2} + (m + 1)m - m + 1 \ne 0 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m < - 3 - \sqrt {12} \\ m > - 3 + \sqrt {12} \end{array} \right.$

Bài 106498

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106498

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan