Bài 106873

Question

Cho hàm số: $y = 4x^3 - mx^2 - 3x + m$
$1.$ Chứng minh rằng với mọi m hàm số luôn luôn có cực đại và cực tiểu, đồng thời chứng minh rằng
hoành độ cực đại và hoành độ cực tiểu của hàm số luôn luôn trái dấu.
$2.$ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số ứng với $m = 0$
$3.$ Phương trình $4{x^3} - 3x = \sqrt {1 - x^2} $ có bao nhiêu nghiệm?

score 0 · Answer 1

$1.$ $y' = 12{x^2} - 2mx - 3$
$\Delta ' = {m^2} + 36 > 0\Leftrightarrow $ với mọi $m$ thì $y’$ luôn có $2$ nghiệm phân biệt $x_1; x_2.$ Theo viet:
${x_1}{x_2} = - \frac{1}{4} \Rightarrow {x_1};{x_2}$trái dấu $ \Rightarrow \forall m$ hàm số luôn có cực đại, cực tiểu và hoành độ CĐ, CT luôn trái dấu.
$2.$ Bạn đọc tự giải
$3.$ TXĐ: $ - 1 \le x \le 1$. Đặt $x = \cos t (0 \le t \le \pi )$
$\begin{array}{l}
PT \Leftrightarrow 4{\cos ^3}t - 3\cos t = \sqrt {1 - \cos^2t} \\
\Leftrightarrow \cos 3t = |\sin t| = \sin t = \cos (\frac{\pi }{2} - t) \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
t = \frac{\pi }{8} + \frac{{2k\pi }}{8}\\
t = - \frac{\pi }{4} + k\pi
\end{array} \right.\,\,\,\,(k \in Z)
\end{array}$
So điều kiện ở trên, pt có đúng $3$ nghiệm:
$\left[ \begin{array}{l}
x = \cos\frac{\pi }{8}\\
x = \cos\frac{{9\pi }}{8} = - \cos\frac{\pi }{8}\\
x = \cos\frac{{3\pi }}{4} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}
\end{array} \right.$

Bài 106873

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 106873

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan