Bài 107181

Question

Trong mặt phẳng cho hai đường thẳng

$d_1;d_2$ có phương trình :

$d_1 :kx-y+k=0;$

$d_2 :(1-k^2)x+2ky-(1+k^2)=0$

$a.$ Chứng minh rằng khi

$k$ thay đổi, đường thẳng

$d_1$ luôn đi qua một điểm cố định

$b.$ Với mỗi giá trị của

$k$ , hãy xác định giao điểm của

$d_1; d_2$

$c.$ Tìm quỹ tích của giao điểm đó khi

$k$ thay đổi

score 0 · Answer 1

$a.$ Gọi

$M_0(x_0;y_0)$ là điểm cố định,

$M_0\in d_1\forall k$

$\Leftrightarrow kx_0-y_0+k=0 \forall k$

$\Leftrightarrow k(x_0+1)-y_0=0\forall k (1)$

$(1)$ đúng

$\forall k$ khi và chỉ khi

$\Leftrightarrow \begin{cases}x_0+1=0 \\ y_0=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x_0=-1 \\ y_0=0 \end{cases}$
Vậy đường thẳng

$d_1$ luôn đi qua điểm cố định

$M_0(-1;0)$

$b.$ Tọa độ giao điểm

$d_1; d_2$ là nghiệm của hệ phương trình :

$\begin{cases}kx-y=-k \\ (1-k^2)x+2ky=1+k^2 \end{cases}$

$D=ab'-a'b=2k^2+(1-k^2)=1-k^2$

$D_x=cb'-bc'=1-k^2$

$D_y=ac'-a'c=2k$

$\Leftrightarrow \begin{cases}x=\frac{1-k^2}{1+k^2} (x\neq -1) \\ y=\frac{2k}{1+k^2} \end{cases}$

$c.$ Đặt

$k=\tan\frac{\alpha}{2}$ ta có :

$\begin{cases}x=\cos\alpha \\ y=\sin\alpha \end{cases} (x\neq 1)$
Suy ra

$x^2+y^2=\cos^2\alpha+\sin^2\alpha\Leftrightarrow x^2+y^2=1 (2)$

$(2)$ là phương trình đường tròn

$x^2+y^2=1$
Vậy quỹ tích của

$M$ là đường tròn

$(C): x^2+y^2=1$

1 Đáp án