Bài 107348

Question

Cho mặt phẳng $(\alpha )$ cho hình vuông $ABCD$. Trên tia $Az\bot(\alpha )$ lấy điểm $S$. Đường thẳng $\Delta_1 \bot (SBC) $ tại $S$ cắt $(\alpha )$ tại $M$, $\Delta_2 \bot (SCD) $ tại $S$ cắt $(\alpha )$ tại $N$. Gọi $I$ là trung điểm của $MN$
a) Chứng minh $A,B,M$ thẳng hàng, $A,D,N$ thẳng hàng
b) Khi $S$ di động trên $Az$, chứng tỏ $I$ thuộc đường thẳng cố định
c) Vẽ $AH\bot SI$ tại $H$. Chứng minh $AH$ là đường cao tứ diện $ASMN$ và $H$ là trục tâm $\Delta SMN$
d) Cho $OS=2;AB=1$. Tính $V_{ASMN}$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/8/2012 11:15:43 AM

Chọn hệ trục tọa độ $Axyz$ sao cho: $A(0;0;0), B(1;0;0), C(1;1;0), D(0;1;0), S(0;0;h), h>0$

a) $\overrightarrow{u}_{\Delta_1 }=[\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC} ]=(h;0;1) $
$\overrightarrow{u}_{\Delta_2 }=[\overrightarrow{SC},\overrightarrow{SD} ]=(0;h;1) $
Phương trình $(\alpha ):z=0$
Phương trình tham số $\Delta_1 $
$\left\{ \begin{array}{l} x=ht\\ y=0\\z=h+t \end{array} \right. (t\in R)$
Phương trình tham số $\Delta_2:\left\{ \begin{array}{l} x=0\\ y=ht\\z=h+t \end{array} \right. (t\in R)$
$\Rightarrow M(-h^2;0;0), N(0;-h^2;0)\Rightarrow I(-\frac{h^2}{2};-\frac{h^2}{2};0 )$
$\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{AM}=(-h^2;0;0)=-h^2\overrightarrow{AB} \\ \overrightarrow{AN}=(0;-h^2;0) =-h^2\overrightarrow{AD} \end{array} \right. $
Vậy $A,M,B$ và $A,N,D$ thẳng hàng

b) $I$ di động trên đường cố định
Ta có:$\overrightarrow{u}_{AC}=\overrightarrow{AC}=(1;1;0) $
Phương trình tham số: $AC:\left\{ \begin{array}{l} x=t\\ y=t\\z=0 \end{array} \right. $
$I(-\frac{h^2}{2};\frac{h^2}{2};0 )\in AC$
Vậy $S$ di động trên $Az$ thì $I$ di động trên đường thẳng $AC$

c) Ta có: $H \in SI \subset (SMN)\Rightarrow H\in (SMN)$
$\overrightarrow{n}_{(SMN)}=[\overrightarrow{SM},\overrightarrow{SN} ]=-h^3(1;1;-h) $
$\overrightarrow{n}_{(SAI)}=[\overrightarrow{AS},\overrightarrow{AI} ]=-\frac{h^3}{2}(1;-1;0) $
$\overrightarrow{n}_{(SMN)}\bot \overrightarrow{n}_{SAI}\Rightarrow (SMN)\bot (SAI) $
Mà $\left\{ \begin{array}{l} (SMN)\cap (SAI)=SI\\ AH\bot SI\end{array} \right. \Rightarrow AH\bot (SMN)$
Vậy $AH$ là đường cao hình chóp $ASMN$
Chứng minh $H$ là trục tâm $\Delta SMN$
$\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{MN}=h^2(1;-1;0) \\ \overrightarrow{SI}=-\frac{h}{2}(h;h;2)   \end{array} \right. \Rightarrow MN\bot SI \Rightarrow MN\bot SH                    (1)$
$\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow{SM}=(-h^2;0;-h) \\ \overrightarrow{AN}=(0;-h^2;0) \end{array} \right. SM\bot AN$
$SM\bot (AHN)(do SM\bot AH)\Rightarrow SM\bot AH      (2)$
Từ $(1), (2)$ suy ra $H$ là trục tâm $\Delta SMN$

d) Với $OS=2, AB=1,$ ta có: $A(0;0;0), S(0;0;2), M(-4;0;0), N(0;-4;0)$
$\Rightarrow V_{ASMN}=\frac{1}{6}|[\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AN} ].\overrightarrow{AS} |=\frac{1}{6}|[(-4;0;0),(0;-4;0)](0;0;2)|=\frac{16}{3}   $ (đvdt)

Bài 107348

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107348

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan