Bài 107563

Question

Cho đường tròn

$(C)$ có phương trình :

$x^2+y^2-6x-8y+21=0$ và các điểm

$A(4;5),B(5;1)$

$a.$ Chứng tỏ rằng

$2$ điểm

$A,B$ có một điểm nằm trong, một điểm nằm ngoài đường tròn. Viết phương trình đường thẳng

$AB$

$b.$ Đường thẳng

$AB$ cắt đường tròn

$C$ tại

$E,F$ . Tính độ dài

$EF$

score 0 · Answer 1

$a. (C) :x^2+y^2-6x-8y+21=0\Rightarrow (x-3)^2+(y-4)^2-4=0$
Đường tròn

$(C)$ có tâm

$(3;4)$ bán kính

$2$
- Khoảng cách

$IA=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}<2; IB=\sqrt{4+9} =\sqrt{13}>2$ suy ra điểm

$A$ nằm trong đường tròn và điểm

$B$ ở ngoài đường tròn.
-

$\overrightarrow {AB}(1;-4)$ nên phương trình đường thẳng

$AB$ qua

$A(4;5)$ là :

$\frac{x-4}{1} =\frac{y-5}{-4}$ hay

$4x+y-21=0$

$b.$ Khoảng cách từ

$I(3;4)$ đến đường thẳng

$AB$ là :

$d(I,AB)=\frac{|4(3)+1.(4)-21|}{=\sqrt{16+1} } =\frac{5}{\sqrt{17} } <2$
Suy ra

$AB$ cắt đường tròn

$EF$ là dây cung của đường tròn

$(C)$ nằm trên đường thằng

$AB$

$(\frac{EF}{2} )^2=IF^2-IH^2=R^2-(\frac{5}{\sqrt{17} } )^2$

$\Leftrightarrow EF=2\sqrt{4-\frac{25}{17} } =2\sqrt{\frac{43}{17} }$

1 Đáp án