Bài 107563

Question

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có ba kích thước $AB=a, AD=b, AA'=c$ với $0<a<b<c$. gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $AB$ và $C'D'$ và các điểm $M, N$ thỏa mãn điều kiện: $\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AD} $ và $\overrightarrow{BN} =k\overrightarrow{BB'} $ với $0\leq k\leq 1 (1)$
a) Tính khoảng cách từ $A$ đến $mp(A'BD)$
b) Chứng minh rằng với mỗi giá trị của $k$ thỏa mãn điều kiện (1), bốn điểm $I,M,J,N$ cùng thuộc một mặt phẳng. tìm các giá trị của $k$ để $MN\bot IJ$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/9/2012 11:19:04 AM

a) Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$
-Gốc $O\equiv A$
-Trục $Ox$ đi qua $AB$
-Trục $Oy$ đi qua $AD$
-Trục $Oz$ đi qua $AA'$

Khi đó: $A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;b;0), D(0;b;0), A'(0;0;c), B'(a;0;c), C'(a;b;c), D'(0;b;c)$
phương trình mặt phẳng $(A'BD):\frac{x}{a}+\frac{y}{z}=1\Leftrightarrow bcx+acy+abz-abc =0 $
$\Rightarrow d(A,(A'BD)=\frac{|-abc|}{\sqrt{b^2c^2+a^2C^2+a^2b^2} } =\frac{abc}{\sqrt{b^2c^2+a^2c^2+a^2b^2} } $

b) Ta có: $I(\frac{a}{2};0;0 ),J(\frac{a}{2};b;c )$
$\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AD}=(0;kb;0)\Rightarrow M(0;kb;0) $
$\overrightarrow{BN}=k\overrightarrow{BB'}=(0;0;kc)\Rightarrow N(0;0;kc) $
$\Rightarrow \overrightarrow{IJ}=(0;b;c), \overrightarrow{IM}=(-\frac{a}{2};kb;0 ), \overrightarrow{IN}=(-\frac{a}{2};0;kc )   $
$\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN}=(0;kb;kc), k\overrightarrow{IJ}=(0;kb;kc)   $
$\Rightarrow k\overrightarrow{IJ}=\overrightarrow{IM}+\overrightarrow{IN}\Rightarrow \overrightarrow{IJ}=\frac{1}{k}\overrightarrow{IM}+\frac{1}{k}\overrightarrow{IN}\Rightarrow \overrightarrow{IJ},\overrightarrow{IM},\overrightarrow{IN}           $ đồng phẳng
Vậy: bốn điểm $J,I,M,N$ cùng nằm trên một mặt phẳng.

Tìm $k$ để $MN\bot IJ$:
Ta có: $\overrightarrow{MN}=(0;-kb;kc), \overrightarrow{IJ}=(0;b;c) $
$MN\bot IJ\Leftrightarrow \overrightarrow{MN}.\overrightarrow{IJ}=0\Leftrightarrow -kb^2+kc^2=0 $
$\Leftrightarrow k(c^2-b^2)=0\Leftrightarrow k=0 (vì b\neq c)$
Vậy $k=0$ thì $MN\bot IJ$

Bài 107563

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107563

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan