Bài 107913

Question

Cho lăng trụ đứng $OAB.O'A'B'$ đáy $\Delta OAB$ vuông tại $O, OA=a, OB=b, OO'=h$. Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $O$ vuông góc $AB'$
1) Tìm điều kiện của $a;b;h$ để $(\alpha )$ cắt cạnh $AB,AA'$ tại $I, J$
2) Với điều kiện trên hãy tính:
a. $S_{\Delta OIJ}$
b. Tỉ số thể tích hai phần do thiết diện chia lăng trụ

hoàng anh thọ · Answer 1 · 6/13/2012 9:02:19 AM

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ sao cho: $O(0;0;0), A(a;;0;0), B(0;b;0), O'(0;0;h), A'(a;0;h), B'(0;b;h)$

$1)$ Ta có: $\overrightarrow{B'A}=(a;-b;-h) \Rightarrow $ Phương trình $(\alpha ): ax-by-hz=0$
Vì $J\in AA'\Rightarrow J(a;0;z_0)$
Mặt khác $J\in (\alpha )\Rightarrow Z_0=\frac{a^2}{h}\Rightarrow J(a;0;\frac{a^2}{h} ) $
Ta có: $\overrightarrow{BA}=(a;-b;0) $
$\Rightarrow $ Phương trình tham số $AB:\left\{ \begin{array}{l} x=a+at\\ y=-bt\\z=0 \end{array} \right. $
$I\in AB \Rightarrow I(a+at;-bt;0)$
Vì $I \in (\alpha )\Rightarrow I(\frac{ab^2}{a^2+b^2};\frac{a^2b}{a^2+b^2};0$ Do đó:
$I, J\in AB, AA'$ khi: $\left\{ \begin{array}{l} 0<z_1<h\\ 0<x_1<a \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a<h\\ b^2<a^2+b^2 \end{array} \right. \Rightarrow a<h$

$2)$
a. $S_{\Delta OIJ}=\frac{1}{2}|[\overrightarrow{OI}, \overrightarrow{OJ} ]|=\frac{a^3b}{2h(a^2+b^2)}\sqrt{a^2+b^2+h^2} $ (đvdt)

b. Gọi $V$ là thể tích lăng trụ, $V_1$ là thể tích hình chóp $A.OIJ; V_2$ là phần còn lại:
Ta có:
$\begin{array}{l}
d(A,({\rm{OIJ}})) = \frac{{{a^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {h^2}} }}\\
\Rightarrow {V_1} = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {h^2}} }}.\frac{{{a^3}h}}{{2h({a^2} + {b^2})}}\sqrt {{a^2} + {b^2} + {h^2}} = \frac{{{a^5}b}}{{6h({a^2} + {b^2})}}
\end{array}$
Mặt khác :
$\begin{array}{l}
V = \frac{1}{2}OA.OB.{\rm{OO}}' = \frac{{abh}}{2}\\
\Rightarrow {V_2} = V - {V_1} = \frac{{ab(3{a^2}{h^2} + 3{b^2}{h^2} - {a^4})}}{{6h({a^2} + {b^2})}}\\
\Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{{a^4}}}{{3{a^2}{h^2} + 3{b^2}{h^2} - {a^4}}}
\end{array}$

Bài 107913

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107913

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan