Bài 107925

Question

Chứng minh rằng
a) Nếu

$f(x)$ là hàm số đồng biến trên miền

$D$ , thì

$-f(x)$ là hàm số nghịch biến trên

$D$ .
b) Nếu

$f(x)$ là hàm số đồng biến trên

$D$ và

$f(x)>0$ với

$\forall x \in D,$ thì

$\frac{1}{f(x)}$ là hàm số nghịch biến trên

$D$ .
c) Giả sử

$f_1(x)$ và

$f_2(x)$ là hai hàm số đồng biến trên cùng miền

$D$ . Khi đó hàm số

$f(x)=f_1(x)+f_2(x)$ cũng là hàm số đồng biến tên miền

$D$ .
d) Giả sử

$f_1(x)$ và

$f_2(x)$ là hai hàm đồng biến trên cùng miền

$D$ , ngoài ra

$f_1(x)>0, f_2(x)>0, x \forall \in D$ . Khi đó hàm số

$g(x)=f_1(x)f_2(x)$ cũng là hàm đồng biến trên D.

Thu Hằng · Answer 1 · 6/12/2012 10:04:22 PM

a) Giả sử

$f(x)$ là hàm số đồng biến trên

$D$ . Lấy

$x_1,x_2\in D$ và

$x_2>x_1$ . Khi đó

$f(x_2)>f(x_1)$ . Do vậy

$-f(x_2)<-f(x_1)$ . Bất đẳng thức này xảy ra với mọi

$x_1, x_2 \in D$ mà

$x_2>x_1$ . Theo định nghĩa,

$-f(x)$ là hàm số nghịch biến trên

$D$ .

b) Giả sử

$f(x)$ là hàm số đồng biến trên

$D$ . Lấy

$x_1,x_2\in D$ và

$x_2>x_1$ . Khi đó

$f(x_2)>f(x_1)>0$ . Do vậy

$\frac{1}{f(x_2)}<\frac{1}{f(x_1)}$ . Bất đẳng thức này xảy ra với mọi

$x_1, x_2 \in D$ mà

$x_2>x_1$ . Theo định nghĩa,

$\frac{1}{f(x)}$ là hàm số nghịch biến trên

$D$ .

c) Giả sử

$f_1(x)$ và

$f_2(x)$ là hai hàm đồng biến trên cùng miền

$D$ .
Lấy

$x_1, x_2\in D$ tùy ý và

$x_2>x_1$ . Khi đó ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} f_1(x_2)>f_1(x_1)\\ f_2(x_2)>f_2(x_1) \end{array} \right.$
Theo tính chất của bất đẳng thức suy ra:

$f_1(x_2)+f_2(x_2)>f_1(x_1)+f_2(x_1)$ , hay

$f(x_2)>f(x_1).$
Bất đẳng thức trên xảy ra

$\forall x_1, x_2\in D$ mà

$x_2>x_1$ . Theo định nghĩa, suy ra

$f(x)=f_1(x)+f_2(x)$ cũng là hàm số đồng biến trên

$D$ .

d) Giả sử

$f_1(x)$ và

$f_2(x)$ là hai hàm đồng biến trên cùng miền

$D$ .
Lấy

$x_1, x_2\in D$ tùy ý và

$x_2>x_1$ . Khi đó ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} f_1(x_2)>f_1(x_1)>0\\ f_2(x_2)>f_2(x_1)>0 \end{array} \right.$
Theo tính chất của bất đẳng thức suy ra:

$f_1(x_2).f_2(x_2)>f_1(x_1).f_2(x_1)$ , hay

$g(x_2)>g(x_1).$
Bất đẳng thức trên xảy ra

$\forall x_1, x_2\in D$ mà

$x_2>x_1$ . Theo định nghĩa, suy ra

$g(x)=f_1(x).f_2(x)$ cũng là hàm số đồng biến trên

$D$ .

Bài 107925

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 107925

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan