Bài 108028

Question

Cho phương trình:$(m-3)x^2-2(m+1)x-3m+1=0$ $(1)$
với $m$ là tham số, $x$ là ẩn số
a) Chứng minh rằng phương trình $(1)$ có nghiệm với mọi giá trị của $m$.
b) Cho $m=5$, không giải phương trình $(1)$, hãy tính giá trị các biểu thức $A=x{^2_1}+x{^2_2}$ và $B=x{^5_1}+x{^5_2}$; ví $x_1, x_2$ là nghiệm (nếu có) của phương trình $(1)$.
c) Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình $(1)$ có các nghiệm số đều là số nguyên.

Thu Hằng · Answer 1 · 6/13/2012 3:40:12 PM

a) Với $m=3$, phương trình trở thành
$-8x-8=0$, suy ra $x=-1$
Với $m \neq 3$, ta có: $\Delta' =(m+1)^2-(m-3)(1-3m)=4(m-1)^2 \geq 0$
với mọi $m \neq 3$. Do đó phương trình luôn có nghiệm.

b) Với $m=5$, phương trình trở thành
$2x^2-12x-14=0 \Leftrightarrow x^2-6x-7=0$
Phương trình này có hai nghiệm vì $ac<0$. Ta có:
$x_1+x_2=6;x_1x_2=-7$
Suy ra $A = x{^2_1}+x{^2_2}=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=36-2.(-7)=50$
             $B=x{^5_1}+x{^5_2}=(x_1+x_2)(x{^4_1}-x{^3_1}x_2+x{^2_1}x{^2_2}-x_1x{^3_2}+x{^4_2})$
                                       $= 6[x{^4_1}+x{^4_2}-x_1x_2(x{^2_1}+x{^2_2})+x{^2_1}x{^2_2}]$
                                       $= 6[(x{^2_1}+x{^2_2})^2-x{^2_1}x{^2_2}-x_1x_2(x{^2_1}+x{^2_2})]$
                                      $= 6[50^2-(-7)^2-(-7).50]=6.2801=16806$

c) Với $m=3$, phương trình có nghiệm $x=-1$, là số nguyên.
Với $m \neq 3 $
$x_1=\frac{-b'+\sqrt{\Delta'}}{a} = \frac{m+1+(2m-2)}{m-3}=\frac{3m-1}{m-3}=3+\frac{8}{m-3} $
Vế phải là số nguyên khi $m-3$ là ước số của $8$. Ta suy ra
$m=-5,-1,1,2,4,5,7,11$
Ngoài ra, nghiệm thứ hai của phương trình là số nguyên:
$x=\frac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a}=\frac{m+1-(2m-2)}{m-3}=\frac{3-m}{m-3}=-1 $
Vậy các giá trị $m$ cần tìm là: $m=-5,-1,1,2,3,4,5,7,11$

Bài 108028

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108028

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan