Bài 108290

Question

Cho

$\Delta ABC$ . Từ một điểm

$P$ thay đổi nằm trong mặt phẳng của tam giác ta kẻ các đường thẳng song song với

$CA,CB$ lần lượt cắt

$CB,CA$ tại

$Q,R$ . Đường thẳng

$d$ nối

$Q$ với trung điểm

$I$ của

$CA$ cắt đường thẳng

$d'$ nối

$R$ với trung điểm

$J$ của

$CB$ tại

$S$ . Chứng minh rằng đường thẳng

$PS$ luôn luôn đi qua một điểm cố định

score 0 · Answer 1

Chọn hệ tọa độ afin

$\left\{ {C;\overrightarrow {CA},\overrightarrow {CB} } \right\}$
Ta có :

$C(0;0),A(1;0),B(0;1),I(\frac{1}{2};0 ),J(0;\frac{1}{2} )$
Giả sử

$P(a;b)\Rightarrow R(a;0),Q(0;b)$
Phương trình đường thẳng

$QI$ :

$\frac{x}{\frac{1}{2} } +\frac{y}{b} =1$
Phương trình đường thẳng

$RJ:\frac{x}{a}+\frac{y}{\frac{1}{2} } =1$
Phương trình chùm đường thẳng tâm

$S$ xác định bởi hai đường thẳng

$QI,RJ$ có dạng :

$m(2x+\frac{y}{b}-1 )+n(\frac{x}{a}+2y-1 )=0$ với

$m,n$ không đồng thời bằng

$0$
Đường thẳng

$PS$ thuộc chùm và đi qua điểm

$P(a;b)$ nên tọa độ

$(a;b)$ thỏa mãn phương trình đường thẳng

$PS$
Do đo ta có :

$ma+nb=0$ .Chọn

$m=-b\Rightarrow n=a$ ta được phương trình đường thẳng

$PS$ là :

$x-y+a(2y-1)-b(2x-1)=0$ .Muốn cho đường thẳng này không phụ thuộc vào tọa độ

$a;b$ của

$P$ ta cần có :

$\begin{cases}2y-1=0 \\ 2x-1=0\\x-y=0 \end{cases} \Rightarrow x=y=\frac{1}{2}$
Vậy điểm cố định cần tìm là : trung điểm

$M$ của đoạn

$AB$ có tọa độ

$x=y=\frac{1}{2}$

Bài 108290

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108290

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan