Bài 108290

Question

Cho $\Delta ABC$. Từ một điểm $P$ thay đổi nằm trong mặt phẳng của tam giác ta kẻ các đường thẳng song song với $CA,CB$ lần lượt cắt $CB,CA$ tại $Q,R$. Đường thẳng $d$ nối $Q$ với trung điểm $I$ của $CA$ cắt đường thẳng $d'$ nối $R$ với trung điểm $J$ của $CB$ tại $S$. Chứng minh rằng đường thẳng $PS$ luôn luôn đi qua một điểm cố định

score 0 · Answer 1

Chọn hệ tọa độ afin $\left\{ {C;\overrightarrow {CA},\overrightarrow {CB} } \right\} $
Ta có : $C(0;0),A(1;0),B(0;1),I(\frac{1}{2};0 ),J(0;\frac{1}{2} )$
Giả sử $P(a;b)\Rightarrow R(a;0),Q(0;b)$
Phương trình đường thẳng $QI$ : $\frac{x}{\frac{1}{2} } +\frac{y}{b} =1$
Phương trình đường thẳng $RJ:\frac{x}{a}+\frac{y}{\frac{1}{2} } =1$
Phương trình chùm đường thẳng tâm $S$ xác định bởi hai đường thẳng $QI,RJ$ có dạng :
$m(2x+\frac{y}{b}-1 )+n(\frac{x}{a}+2y-1 )=0$ với $m,n$ không đồng thời bằng $0$
Đường thẳng $PS$ thuộc chùm và đi qua điểm $P(a;b)$ nên tọa độ $(a;b)$ thỏa mãn phương trình đường thẳng $PS$
Do đo ta có : $ma+nb=0$.Chọn $m=-b\Rightarrow n=a$ ta được phương trình đường thẳng $PS$ là : $x-y+a(2y-1)-b(2x-1)=0$.Muốn cho đường thẳng này không phụ thuộc vào tọa độ $a;b$ của $P$ ta cần có :
$\begin{cases}2y-1=0 \\ 2x-1=0\\x-y=0 \end{cases} \Rightarrow x=y=\frac{1}{2} $
Vậy điểm cố định cần tìm là : trung điểm $M$ của đoạn $AB$ có tọa độ $x=y=\frac{1}{2} $

Bài 108290

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108290

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan