Bài 108363

Question

Trên đoạn $AD$ cố định dựng hình bình hành $ABCD$ sao cho : $\frac{AC}{AD} =\frac{BD}{AB} $.Tìm quỹ tích $B,C$

score 0 · Answer 1

Lấy $A$ làm gốc tọa độ, và dựng hệ trục tọa độ sao cho trục hoành là đường thẳng nối $A,D$ và có chiều hướng từ $A$ đến $D$ (xem hình vẽ)
Trong hệ trục ấy giả sử điểm cố định cho trước có tọa độ $D(1;0)$.Giả sử tọa độ của $B$ là $B(x;y)$ thì tọa độ của $C$ là $(x+1;y)$
Từ giả thiết ta có :
$AC.AB=AD.BD\Leftrightarrow \sqrt{(x+1)^2+y^2}.\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{(x-1)^2+y^2} $
$\Leftrightarrow x^2(x+1)^2+x^2y^2+y^2(x+1)^2+y^4=(x-1)^2+y^2$
$\Leftrightarrow (x+1)^2+(x^2+y^2)+y^2(x^2+y^2)=(x-1)^2+y^2$
$\Leftrightarrow (x^2+y^2)(x^2+y^2+2x+1)=x^2-2x+1+y^2$
$\Leftrightarrow (x^2+y^2)(x^2+y^2+2x)=1-2x$
$\Leftrightarrow (x^2+y^2+1)(x^2+y^2+2x)-x^2-y^2-2x=1-2x$
$\Leftrightarrow (x^2+y^2+1)(x^2+y^2+2x-1)=0$
Và do $x^2+y^2+1>0\Rightarrow x^2+y^2+2x-1=0\Leftrightarrow (x+1)^2+y^2=2 (1)$
Từ $(1)$ suy ra quỹ tích của $B$ là đường tròn tâm tại điểm $I(-1;0)$, bán kính $\sqrt{2} $, tức là đường tròn tâm $I(I$ là điểm đối xứng của $D$ qua $A)$, bán kính là $AD\sqrt{2} $
Rõ ràng : $T_{\overrightarrow {AB} }:B \rightarrow C$
Vậy quỹ tích của $C$ là hình tịnh tiến của quỹ tích trên theo $\overrightarrow {AD} $, tức là quỹ tích của $C$ là đường tròn tâm $A$, bán kính $AD\sqrt{2} $

Bài 108363

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108363

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan