Bài 108526

Question

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1. Trên các tia $AA', AB, AD$ lần lượt lấy các điểm M, N, P khác A sao cho $AM=m, AN=n, AP=p$
1. Tìm sự liên hệ giữa m, n, p sao cho mặt phẳng (MNP) đi qua C' của hình lập phương
2. Trong trường hợp mặt phẳng (MNP) luôn đi qua C, hãy tìm thể tích bé nhất của tứ diện AMNP. Khi đó tứ diện AMNP có tính chất gì?

score 0 · Answer 1

Chọn hệ tọa độ Axyz với B, D, A' theo thứ tự thuộc các tia Ox, Oy, Oz ta được:
           $A(0; 0; 0); B(n; 0; 0); D(0; p; 0); A'(0; 0; m); C'(1; 1; 1)$
1. Phương trình mặt phẳng (MNP) được cho bởi:
           $(MNP): \frac{x}{n}+\frac{y}{p}+\frac{z}{m}=1   $
Để $C'\in (MNP)$ điều kiện là: $\frac{1}{n}+\frac{1}{p}+\frac{1}{m}=1   $ (*)
2. Thể tích tứ diện AMNP được xác định bởi:
           $V_{AMNP}=\frac{1}{6}AM.AN.AP=\frac{1}{6}mnp $
Từ (*) sử dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
           $I=\frac{1}{n}+\frac{1}{p}+\frac{1}{m}\geq \frac{3}{\sqrt[3]{mnp} } \Leftrightarrow mnp\geq 27$
Tức là   $(V_{AMNP})_{Min}=\frac{27}{6} $ đạt được khi :
           $\frac{1}{m}=\frac{1}{n}=\frac{1}{p}=\frac{1}{3} \Leftrightarrow m=n=p=3 $

Bài 108526

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108526

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan