Bài 108774

Question

1) Cho phương trình $(m-5)t^2-2mt+m+4=0$
Gọi $S$ và $P$ là tổng và tích các nghiệm. Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, gọi $M=(x;y)$ là điểm tọa độ $x=S,y=P$. Chứng minh khi $m$ thay đổi, các điểm $M$ biến thiên trên một đường thẳng cố định mà ta phải tìm.
2) Tình $T=(1-\sqrt{5})^5+(1+\sqrt{5})^5$

score 0 · Answer 1

1) Ta có: $\Delta'=m^2-(m-5)(m+4)=m+20$. Điều kiện để phương trình có nghiệm là $\begin{cases}m-5\neq 0 \\ m\geq -20 \end{cases}\Leftrightarrow -20\leq m \neq 5$. Gọi $S=x_1+x_2, P=x_1x_2$
Theo Vi-et: $S=\frac{2m}{m-5}=2+\frac{10}{m-5}; P=\frac{m+4}{m-5}=1+\frac{9}{m-5}$
Suy ra $9S-10P=8$ hay $9x-10y-8=0 \Rightarrow $ Tập hợp các điểm $M(S;P)$ thuộc đường thẳng $9x-10y-8=0$
2) Trước hết ta chứng minh hệ thức $\forall n \geq 2$ luôn có: $aS_{n+2}+bS_{n+1}+cS_n=0 (*)$
trong đó $S_n=x_1^n+x_2^n; x_1,x_2$ là nghiệm của $ax^2+bx+x=0, a\neq 0, n \geq 2$
Thật vậy: Theo giả thiết ta có:
$\begin{cases}ax_1^2+bx_1+c=0 \\ ax_2^2+bx_2+c=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x_1^n(ax_1^2+bx_1+x)=0 \\ x_2^n(ax_2^2+bx_2+c)=0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}ax_1^n+2+bx_1^n+1+cx_1^n=0 \\ ax_2^n+2+bx_2^n+1+cx_2^n=0 \end{cases}$
Cộng theo từng vế của đẳng thức ta có điều phải chứng minh
* Đặt $x_1=1-\sqrt{5}, x_2=1+\sqrt{5} \Rightarrow x_1,x_2$ là nghiệm của phương trình
$x^2-2x-4=0 \Rightarrow T=S_5=x_1^5+x_2^5$
Theo định lí Vi-et $P=x_1x_2=-4; S_1=x_1+x_2=2, S_2=x_1^2+x_2^2=S_1^2-2P=4+8=12$
Theo (*): $S_{n+2}-S_{n+1}-4S_n=0 \Leftrightarrow S_{n+2}=2(S_{n+1}+2S_n)$
Với $n=1 : S_3=2(S_2+2S_1)=2(12+4)=32$
Với $n=2 : S_4=2(S_3+2S_2)=2(32+24)=112$
Với $n=3 : S_5=2(S_4+2S_3)=2(112+64)=352$
Vậy $T=352$

Bài 108774

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 108774

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan