|
|
1) Gọi $f(x)=x^2+(a+b)x-2(a^2-ab+b^2)$
$\Delta=(a+b)^2+8(a^2-ab+b^2)=3(a+b)^2+6a^2+6b^2 \geq 0, \forall a,b$
Suy ra phương trình đã cho có nghiệm với mọi $a,b$
2) Gọi $f(x)=x(x-a)+x(x-b)+(x-a)(x-b)$
Khai triển $f(x)$ ta có $f(x)=3x^-2(a+b)x+ab$
Ta có $\Delta'=(a+b)^2-3ab=a^2+b^2-ab=\frac{1}{2}[(a-b)^2+a^2+b^2] \geq 0, \forall a,b$
$\Leftrightarrow$ Phương trình đã cho có nghiệm với $\forall a, \forall b$ (đpcm)
3)Gọi $f(x)=ab(x-b)(x-b)+bc(x-b)(x-c)+ca(x-c)(x-a)$
Ta có: $f(a)=bc(a-b)(a-c), f(b)=ca(b-c)(b-a), f(c)=ab(c-a)(c-b)$
$\Rightarrow f(a)f(b)f(c)=-a^2b^2c^2(a-b)^2(b-c)^(c-a)^2$. Suy ra:
+ $a=0$ hoặc $b=c \Rightarrow f(b)=f(c)=0 \Leftrightarrow $ Phương trình có nghiệm $x=b, x=c$
+ $b=0$ hoặc $a=c \Rightarrow f(a)=f(c)=0 \Leftrightarrow $ Phương trình có nghiệm $x=c, x=a$
+ $c=0$ hoặc $b=a \Rightarrow f(b)=f(a)=0 \Leftrightarrow $ Phương trình có nghiệm $x=b, x=a$
+ $abc(a-b)(b-c)(c-a) \neq 0 \Rightarrow f(a)f(b)f(c) <0 \Rightarrow $ Trong $3$ số $f(a), f(b), f(c)$ ắt có một số âm. CHẳng hạn $f(a)<0 (*)$
Lại có: $f(0)=a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2>0$ (**)
Từ (*) và (**) $\Rightarrow f(0).f(a)<0$ suy ra phươn g trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
Các kết quả trên chứng tỏ trong mọi trường hợp, phương trình đã cho luôn có nghiệm (đpcm)
|