|
|
1) Gọi f(x)=x2+(a+b)x−2(a2−ab+b2)
Δ=(a+b)2+8(a2−ab+b2)=3(a+b)2+6a2+6b2≥0,∀a,b
Suy ra phương trình đã cho có nghiệm với mọi a,b
2) Gọi f(x)=x(x−a)+x(x−b)+(x−a)(x−b)
Khai triển f(x) ta có f(x)=3x−2(a+b)x+ab
Ta có Δ′=(a+b)2−3ab=a2+b2−ab=12[(a−b)2+a2+b2]≥0,∀a,b
⇔ Phương trình đã cho có nghiệm với ∀a,∀b (đpcm)
3)Gọi f(x)=ab(x−b)(x−b)+bc(x−b)(x−c)+ca(x−c)(x−a)
Ta có: f(a)=bc(a−b)(a−c),f(b)=ca(b−c)(b−a),f(c)=ab(c−a)(c−b)
⇒f(a)f(b)f(c)=−a2b2c2(a−b)2(b−c)(c−a)2. Suy ra:
+ a=0 hoặc b=c⇒f(b)=f(c)=0⇔ Phương trình có nghiệm x=b,x=c
+ b=0 hoặc a=c⇒f(a)=f(c)=0⇔ Phương trình có nghiệm x=c,x=a
+ c=0 hoặc b=a⇒f(b)=f(a)=0⇔ Phương trình có nghiệm x=b,x=a
+ abc(a−b)(b−c)(c−a)≠0⇒f(a)f(b)f(c)<0⇒ Trong 3 số f(a),f(b),f(c) ắt có một số âm. CHẳng hạn f(a)<0(∗)
Lại có: f(0)=a2b2+b2c2+c2a2>0 (**)
Từ (*) và (**) ⇒f(0).f(a)<0 suy ra phươn g trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
Các kết quả trên chứng tỏ trong mọi trường hợp, phương trình đã cho luôn có nghiệm (đpcm)
|