Bài 109215

Question

Tính các giới hạn:
a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\frac{(1+x)(1+2x)(1+3x)...(1+nx)-1}{x} $
b) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1}\frac{(1-\sqrt[]{x})(1-\sqrt[3]{x} )...(1-\sqrt[n]{x} ) }{(1-x)^{n-1}} $
c) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\frac{\sqrt[n]{1+P(x)}-1 }{x} $, trong đó $P(x)$ là đa thức $a_1x+a_2x^2+...+a_n.x^n$
d) $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\frac{\sqrt[]{\cos x}-\sqrt[3]{\cos x}}{\sin ^2 x} $
e) $\mathop {\lim }\limits_{x \to -\sqrt[]{3} }\frac{x^3+3\sqrt[]{3} }{3-x^2} $

score 1 · Answer 1

a) Ta chứng minh bằng quy nạp công thức:
      $\frac{(1+x)(1+2x)(1+3x)...(1+nx)-1}{x} = 1+2(1+x)+3(1+x)(1+2x)+...$
                                                         $...+ n(1+x)(1+2x)...(1+(n-1)x) (1)$
- Với $n=2$, $(1)$ đúng.
- Giả sử $(1)$ đúng với $n$, ta có:
   $\frac{(1+x)(1+2x)(1+3x)...(1+(n+1)x)-1}{x} \\= [1+2(1+x)+...+ n(1+x)(1+2x)...(1+(n-1)x)][1+(n+1)x]\\=1+2(1+x)+...+ (n+1)(1+x)(1+2x)...(1+nx)  $
Nên $(1)$ cũng đúng với $n+1$, vậy $(1)$ đúng với mọi $n$
       Suy ra ĐS: $1+2+3+...+n=\frac{n(n+1)}{2} $

b) Đặt $1-x=y$ và $A$ là giới hạn cần tìm.
     $A=\mathop {\lim }\limits_{y\to 0}\frac{1-\sqrt[]{1-y} }{y} .\mathop {\lim }\limits_{y \to 0}\frac{1-\sqrt[3]{1-y} }{y} ... \mathop {\lim }\limits_{y \to 0}\frac{1-\sqrt[n]{1-y} }{y}     $
Ta có     $\mathop {\lim }\limits_{y \to 0}\frac{1-\sqrt[k]{1-y} }{y}=\frac{1}{k} \forall k=1,2,...,n.    $ Do đó   $A=\frac{1}{n!} $

c) $ \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt[n]{1+P(x)}-1 }{x}=\mathop {\lim }\limits_{x \to 0}\frac{\sqrt[n]{1+P(x)}-1}{P(x)}.\frac{P(x)}{x}    $
     Đặt $P(x)=y: \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{\sqrt[n]{1+y}-1 }{y}. \mathop {\lim }\limits_{x \to 0}

(a_1+a_2x+...+a_nx^{n-1})=\frac{a_1}{n}$

d) Đặt $\cos x =t^6$, ta có:
              $\mathop {\lim }\limits_ {x \to 0}\frac{\sqrt[]{\cos x}-\sqrt[3]{\cos x} }{\sin ^2 x}=\mathop {\lim }\limits_{t \to 1} \frac{t^3-t^2}{1-t^{12}}=-\mathop {\lim }\limits_{t \to 1} \frac{1-t}{1-t^12}      $ $=-\mathop {\lim }\limits_{t \to 1} \frac{1-t}{(1-t)(1+t+...+t^{11})} =-\frac{1}{12} $

e)       $\mathop {\lim }\limits_{x \to -\sqrt[]{3} }\frac{x^3+3\sqrt[]{3} }{3-x^2}       = \mathop {\lim }\limits_{x \to -\sqrt[]{3} }\frac{(x+\sqrt[]{3} )(x^2-x\sqrt[]{3}+3 )}{(\sqrt[]{3}+x )(\sqrt[]{3}-x )} =\frac{3\sqrt[]{3} }{2}    $

Bài 109215

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109215

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan