Bài 109320

Question

Trong không gian tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng

$(d_1), (d_2)$ có phương trình:

$(d_1): \frac{x}{0}=\frac{y-1}{0}=\frac{z-1}{-1} ; (d_2): \frac{x+2}{2}=\frac{y-1}{0}=\frac{z}{0}$
1. Chứng minh rằng

$(d_1); (d_2)$ cắt nhau. Xác định tọa độ giao điểm của chúng
2. Lập phương trình mặt cầu tiếp xúc với

$(d_1), (d_2)$ và có tâm thuộc đường thẳng (d), có phương trình:

$(d): \begin{cases}x=1+t \\ y=t\\z=-2+t \end{cases} ; t\in R$

score 0 · Answer 1

1. Chuyển phương trình

$(d_1), (d_2)$ về dạng tham số:

$(d_1): \begin{cases}x=0 \\ y=1\\z=1-u \end{cases} ; (d_2): \begin{cases}x=2v-2 \\ y=1\\z=0 \end{cases}$
Xét hệ phương trình tạo bởi

$(d_1); (d_2)$ ta được:

$\begin{cases}0=2v-2 \\ 1=1\\1-u=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}u=1 \\ v=1 \end{cases}$
Vậy

$(d_1) \cap (d_2)= I(0; 1; 0)$
2. Ta có:

$\overrightarrow{a_1}(0; 0; 1); \overrightarrow{a_2}(1; 0; 0)$ là vtcp của

$(d_1); (d_2)$
Giả sử mặt cầu (S) có tâm I và tiếp xúc với

$(d_1), (d_2)$ theo thứ tự tại A, B suy ra:

$I(1+t; t; t-2) ; A(0; 1; 1-u) ; B(2v-2; 1; 0)$

$\Rightarrow \overrightarrow{IA}(-1-t; 1-t; 3-u-t) ; \overrightarrow{IB}(2v-t-3; 1-t; 2-t)$
Ta có điều kiện:

$\begin{cases}\overrightarrow{IA} \bot (d_1) \\ \overrightarrow{IB} \bot (d_2)\\IA=IB \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\overrightarrow{IA} \bot \overrightarrow{a_1} \\ \overrightarrow{IB} \bot \overrightarrow{a_2}\\IA=IB \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\overrightarrow{IA}.\overrightarrow{a_1}=0 \\ \overrightarrow{IB}.\overrightarrow{a_2}=0\\IA^2=IB^2 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}3-u-t=0 \\ 2v-t-3=0\\(-1-t)^2+(1+t)^2+(3-u-t)^2=(2v-t-3)^2+(1-t)^2+(2-t)^2 \end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}t=\frac{1}{2} \\ u=\frac{5}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}Tọa độ I(\frac{3}{2}; \frac{1}{2} ; -\frac{3}{2}) \\ IA=\frac{\sqrt{10} }{2} \end{cases}$
Mặt cầu (S) có phương trình:

$(x-\frac{3}{2})^2+(y-\frac{1}{2} )^2+(z+\frac{3}{2})^2=\frac{5}{2}$

Bài 109320

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109320

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan