Bài 109330

Question

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $(d_1); (d_2)$ có phương trình:
$(d_1): \begin{cases}x=2t \\ y=t\\z=4 \end{cases} ; (d_2): \begin{cases}x+y-3=0 \\ 4x+4y+3z-12=0 \end{cases} $
1. Chứng minh rằng $(d_1); (d_2)$ chéo nhau
2. Tình khoảng cách giữa $(d_1); (d_2)$

score 0 · Answer 1

1. Gọi $\overrightarrow{a_1}; \overrightarrow{a_2}   $ là vtcp của $(d_1); (d_2)$ ta có:
         $\overrightarrow{a_1}(2; 1; 0) ; \overrightarrow{a_2}(1; -1; 0) \Rightarrow    \overrightarrow{a_1}; \overrightarrow{a_2}$ không cùng phương
Xét hệ phương trình tạo bởi $(d_1); (d_2)$ ta có:
         $\begin{cases}2t+t-3=0 \\ 8t+4t+12-12=0 \end{cases} $ vô nghiệm $\Rightarrow (d_1) \cap (d_2)= \varnothing$
Vậy $(d_1); (d_2)$ chéo nhau
2. Chuyển phương trình :
Lấy M(3; 0; 0) $\in (d_2)$ khi đó:
       $(d_2): \begin{cases}qua M(3; 0; 0) \\ vtcp \overrightarrow{a_2}(1; -1; 0)   \end{cases} \Leftrightarrow (d_2): \begin{cases}x=3+u \\ y=-u\\z=0 \end{cases} $
Gọi AB là đoạn vuông góc chung của $(d_1); (d_2) (A\in (d_1); B\in (d_2))$. Khi đó, tọa độ của A, B theo thứ tự thỏa mãn phương trình tham số của $(d_1); (d_2)$, tức là:
         $A(2t; t; 4) ; B(3_u; -u; 0) \Rightarrow \overrightarrow{AB}(u-2t+3; -u-t; -4 ) $
Từ điều kiện:
          $\begin{cases}Ab \bot (d_1) \\ AB \bot (d_2) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{a_1}=0   \\ \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{a_2}=0   \end{cases} \Leftrightarrow   \begin{cases}t=1 \\ u=-1 \end{cases} $
           $\Rightarrow \begin{cases}A(2; 1; 4) \\ B(2; 1; 0) \end{cases} $
Khi đó $d((d_1); (d_2))=AB=4$

Bài 109330

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109330

1 Đáp án

Liên quan

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Lý thuyết liên quan