Bài 101836

Question

Trong không gian với hệ trục tọa độ Đềcac vuông góc

$Oxyz$ cho bốn điểm

$A\left( {1,\,2,\,2} \right);\,B\left( { - 1,2,\, - 1} \right);\,C\left( {1,\,6,\, - 1} \right);D\left( { - 1,\,6,\,2} \right)$ .

$1$ . Chứng minh rằng

$ABCD$ là hình tứ diện và có các cặp cạnh đối bằng nhau.

$2$ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

$AB$ và

$AC$

$3$ . Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

$ABCD$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 4/27/2012 3:14:15 PM

$1$ . Từ giả thiết suy ra

$\overrightarrow {AB} = \left( { - 2,\,0,\, - 3} \right);\,\,\overrightarrow {AC} = \left( {0,\,4,\, - 3} \right);\,\,\overrightarrow {AD} \left( { - 2,\,4,\,0} \right);\,\,\overrightarrow {BC} \left( {2,\,4,\,0} \right);\,\,\overrightarrow {BD} \left( {0,\,4,\,3} \right);\,\,\overrightarrow {CD} \left( { - 2,\,0,\,3} \right)$
Do đó

$\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right] = \left( {12,\, - 6,\, - 8} \right)\,;\,\,\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD} = - 24- 24 \ne 0 \Rightarrow \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD}$ không đồng phẳng

$\Rightarrow ABCD$ là hình tứ diện.
Ngoài ra

$\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {4 + 9} = \left| {\overrightarrow {CD} } \right|\,;\,\,\left| {\overrightarrow {AC} } \right| = \sqrt {16 + 9} = \left| {\overrightarrow {BD} } \right|\,;\,\,\left| {\overrightarrow {AD} } \right| = \sqrt {4 + 16} = \left| {\overrightarrow {BC} } \right|$ nên tứ diện

$ABCD$ có các cặp cạnh đối bằng nhau.

$2$ . Có

$\left[ {\overrightarrow {AB} ,\,\overrightarrow {CD} } \right] = \left( {0,\,12,\,0} \right) = 12.\left( {0,\,1,\,0} \right)$ . Do đó mặt phẳng

$\left( \alpha \right)$ qua

$AB$ và song song với

$CD$ có vectơ pháp tuyến là

$\overrightarrow v = \left( {0,\,1,\,0} \right)$ và có phương trình

$1\left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow y - 2 = 0$
Khoảng cách giữa hai đường thẳng

$AB$ và

$CD$ bằng khoảng cách từ

$C$ đến

$\left( \alpha \right)$ , do đó bằng

$\frac{{\left| {6 - 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2}} }} = 4$

$3$ . Gọi

$M$ và

$N$ lần lượt là trung điểm của

$AB$ và

$CD$ . Ta có

$M\left( {0,\,2,\,\frac{1}{2}} \right);\,N\left( {0,\,6,\,\frac{1}{2}} \right)$
Do đó

$\overrightarrow {MN} = \left( {0,\,4,\,0} \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {AB} = \left( {0,\,4,\,0} \right).\left( { - 2,\,0,\, - 3} \right) = 0\,;\,\,\,\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {CD} = \left( {0,\,4,\,0} \right).\left( { - 2,\,0,\,3} \right) = 0$
Suy ra

$MN$ là đường vuông góc chung của

$AB$ và

$CD$ . Gọi

$E$ là trung điểm của

$MN$ thì

$EA = EB = ED$
Suy ra

$E$ là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện

$ABCD$ . Do đó mặt cầu có tâm