Bài 109710

Question

Cho hình chóp

$S.ABCD$ đáy

$ABCD$ là hình vuông tâm

$O$ và cạnh

$a,SA=a$ và vuông góc với mặt phẳng

$(ABCD)$

$a.$ Gọi

$(\alpha)$ là mặt phẳng qua

$O$ , trung điểm

$M$ của

$SD$ và vuông góc với

$(ABCD)$ .Hãy xác định mặt phẳng

$(\alpha)$ ,mặt phẳng

$(\alpha)$ cắt hình chóp

$S.ABCD$ theo thiết diện là hình gì?Tính diện tích thiết diện.

$b.$ Gọi

$(\beta)$ là mặt phẳng qua

$A$ , trung điểm

$E$ của

$CD$ và vuông góc với

$(SBC)$ .Hãy xác định mặt phẳng

$(\beta)$ , mặt phẳng

$(\beta)$ cắt hình chóp

$S.ABCD$ theo thiết diện là hình gì ?Tính diện tích thiết diện

score 0 · Answer 1

$a.$ Ta lần lượt thực hiện :
- Xác định mặt phẳng

$\alpha$ .Trong

$(SAD)$ dựng

$Mx//SA$ và cắt

$AD$ tại

$Q$ là trung điểm của

$AD$ ta có :

$MQ\bot (ABCD)\Rightarrow MQ\in \alpha$
Vậy

$\alpha$ là mặt phẳng

$(OMQ)$
- Xác định thiết diện : Kéo dài

$QO$ cắt

$BC$ tại

$P$ là trung điểm của

$BC$ ta có :

$\begin{cases} PQ\in \alpha và CD\in (SCD)\\PQ//CD\\\alpha \cap (SCD)=My\end{cases} \Rightarrow My//CD//PQ$
và

$My$ cắt

$SC$ tại

$N$ là trung điểm của

$SC$
Vậy mặt phẳng

$\alpha$ cắt hình chóp

$S.ABCD$ theo thiết diện là hình thang vuông

$MNPQ$
- Tính diên tích thiết diện : Ta có :

$S_{MNPQ}=\frac{1}{2} (MN+PQ).MQ$ trong đó :

$MN=\frac{1}{2} CD=\frac{a}{2}$ vì

$MN$ là đường trung bình của

$\Delta SCD,PQ=a$

$MQ=\frac{1}{2} SA=\frac{a}{2}$ vì

$MQ$ là đường trung bình của

$\Delta SAD$
suy ra :

$S_{MNPQ}=\frac{1}{2} (a+\frac{a}{2} ).\frac{a}{2} =\frac{3a^2}{8}$

$b.$ Ta lần lượt thực hiện :
- Xác định mặt phẳng

$\beta :$ Trong

$(SAB)$ hạ

$AH\bot SB$ và

$H$ là trung điểm của

$AB$ ta có:

$\begin{cases}BC\bot AB\\BC\bot SA \end{cases} \Rightarrow BC\bot (SAB)\Rightarrow BC\bot AH$
Như vậy :

$\begin{cases}AH\bot SB\\AH\bot BC \end{cases} \Rightarrow AH\bot (SBC)\Rightarrow AH\in \beta$
Vậy

$\beta$ là mặt phẳng

$(AHE)$
- Xác định diện tích : Kéo dài

$AE$ cắt

$BC$ tại

$K$ ,nối

$HK$ cắt

$SC$ tại

$F$
Vậy mặt phẳng

$\beta$ cắt hình chóp

$S.ABCD$ theo thiết diện là tứ giác

$AEFH$

- Tính diện tích thiết diện : Ta có:

$S_{AEFH}=S_{\Delta HAK}-S_{\Delta EKF}$

$=\frac{1}{2} AH.KH-\frac{1}{2} KE.KF.sin\widehat{EKF}=\frac{1}{2} AK.KH-\frac{1}{2} KE.KF.\frac{AH}{AK}$
Trong

$\Delta SAB$ ta có:

$AH=\frac{1}{2} SB=\frac{a\sqrt{2} }{2}$
Trong

$\Delta ADE$ ta có:

$AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\frac{a\sqrt{5} }{2}$
Trong

$\Delta KAB$ ta có:

$CE\mathop = \limits^{//} \frac{1}{2} AB\Rightarrow KE=AE=\frac{a\sqrt{5} }{2}$ và

$AK=2AE=a=a\sqrt{5}$
Trong

$\Delta HAK$ vuông tại

$H$ ta có:

$KH=\sqrt{AK^2-AH^2}=\frac{3a\sqrt{2} }{2}$
Trong

$\Delta SBK$ ta có:

$SC,SH$ là hai đường trung tuyến, do đó :

$KF=\frac{2}{3} KH=a\sqrt{2}$
Từ đó, ta được :

$S_{AEFH}=\frac{1}{2} .\frac{a\sqrt{2} }{2}.\frac{3a\sqrt{2} }{2} -\frac{1}{2} .\frac{a\sqrt{5} }{2} .a\sqrt{2} .\frac{\frac{a\sqrt{2} }{2} }{\frac{2}{a\sqrt{5} } } =\frac{3a^2}{4}-\frac{a^2}{4} =\frac{a^2}{2}$

Bài 109710

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109710

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan