Bài 109722

Question

Cho hình lăng trụ đứng

$ABC.A_1B_1C_1$ đáy là tam giác đều cạnh

$a,AA_1=a\sqrt{2}$ .gọi

$M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh

$AB,A_1C_1$

$a.$ Xác định thiết diện của lăng trụ với mặt phẳng

$(\alpha)$ qua

$MN$ và vuông góc với

$(BCC_1B_1)$ .Thiết diện là hình gì ?

$b.$ Tính diện tích thiết diện

score 0 · Answer 1

$a.$ Gọi

$E,E_1$ theo thứ tự là trung điểm của

$BC,B_1C_1$ ta có ngay :

$AE\bot BC\Rightarrow AE\bot (BCC_1B_1)$

$A_1E_1\bot B_1C_1\Rightarrow A_1E_1\bot (BCC_1B_1)$

$AE\mathop = \limits^{//} A_1E_1$
Do đó :
- Dựng

$Mx//AE$ cắt

$BC$ tại

$Q$ là trung điểm của

$BE$
- Dựng

$Ny//A_1E_1$ cắt

$B_1C_1$ tại

$P$ là trung điểm của

$E_1C_1$
Vì

$MQ//NP$ nên

$M,N,P,Q$ đồng phẳng, do vậy

$MNPQ$ chính là thiết diện cần dựng
Nhận xét rằng :

$MQ\mathop = \limits^{//} \frac{1}{2} AE\mathop = \limits^{//} \frac{1}{2} A_1E_1\mathop = \limits^{//} NP\Rightarrow MNPQ$ là hình bình hành

$MQ\bot (BCC_1B_1)\Rightarrow MQ\bot PQ$
Vậy thiết diện

$MNPQ$ là hình chữ nhật

$b.$ Ta có:

$S_{MNPQ}=MQ.NP$
Trong

$\Delta ABC$ ta có

$AE=\frac{a\sqrt{3} }{2}$ vì

$\Delta ABC$ đều và có cạnh bằng

$a$
Trong

$\Delta ABE$ ta có

$MQ=\frac{1}{2} AE=\frac{a\sqrt{3} }{4}$ vì

$MQ$ là đường trung bình
Trong

$\Delta ECC_1$ ta có

$PQ=EC_1=\sqrt{EC^2+C_1C^2}=\frac{a\sqrt{5} }{2}$
Từ đó ta được :

$S_{MNPQ}=\frac{a\sqrt{3} }{4} .\frac{a\sqrt{5} }{2} =\frac{a^2\sqrt{15} }{8}$

Bài 109722

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109722

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan