Bài 109771

Question

Cho hình chóp

$S.ABCD$ có

$SA=a\sqrt{6}$ và vuông góc với mặt phẳng

$(ABCD)$ đáy

$ABCD$ là nửa lục giác đều nội tiếp trong đường tròn đường kính

$AD=2a$

$a.$ Tính các khoảng cách từ

$A$ và

$B$ đến mặt phẳng

$(SCD)$

$b.$ Tính khoảng cách từ đường thẳng

$AD$ đến mặt phẳng

$(SBC)$

$c.$ Tính diện tích của thiết diện của hình chóp

$S.ABCD$ với mặt phẳng

$(\alpha)$ song song với mặt phẳng

$(SAD)$ và cách một khoảng bằng

$\frac{a\sqrt{3} }{4}$

score 0 · Answer 1

$a.$ Nhận xét rằng :

$\begin{cases}CD\bot AC\\CD\bot SA \end{cases} \Rightarrow CD\bot (SAC)\Rightarrow (SCD)\bot (SAC)$
Hạ

$AH$ vuông góc với

$SC$ ta có ngay

$AH\bot (SCD)$
Vậy

$AH$ vuông góc với

$SC$ ta có ngay

$AH\bot (SCD)$
Trong

$\Delta SAB$ vuông tại

$A$ ta có:

$\frac{1}{AH^2} =\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AC^2}=\frac{1}{(a\sqrt{6} )^2}+\frac{1}{(a\sqrt{3} )^2}=\frac{1}{2a^2} \Rightarrow AH=a\sqrt{2}$
Gọi

$I$ là trung điểm

$AD$ suy ra :

$BI//CD\Rightarrow BI//(SCD)\Rightarrow d(B,(SCD))=d(I,(SCD))$
Mặt khác, ta lại có

$AI\cap (SCD)$ nên :

$\frac{d(I,(SCD))}{d(A,(SCD))} =\frac{ID}{AD} =\frac{1}{2} \Rightarrow d(I,(SCD))=\frac{1}{2} d(A,(SCD))=\frac{1}{2} AH=\frac{a\sqrt{2} }{2}$

$B.$ Nhận xét rằng :

$AD//CD\Rightarrow AD//(SBC)\Rightarrow d(AD,(SBC))=d(A,(SBC))$
Hạ

$AK$ vuông góc với

$BC$ ta được :

$\begin{cases} BC\bot AK\\BC\bot SA\end{cases} \Rightarrow BC\bot (SAK)\Rightarrow (SBC)\bot (SAK)$ và

$(SBC)\cap (SAK)=AK$
Hạ

$AG$ vuông góc với

$SK$ ta có ngay

$AG\bot (SBC)$
Vậy

$AG$ là khoảng cácg từ điểm

$A$ tới

$SBC$
Trong

$\Delta SAK$ vuông tại

$A$ ta có :

$\frac{1}{AG^2}=\frac{1}{SA^2}+\frac{1}{AK^2}=\frac{1}{(a\sqrt{6} )^2} +\frac{1}{(\frac{a\sqrt{3} }{2} )^2} =\frac{3}{2a^2}\Rightarrow AG=\frac{a\sqrt{6} }{3}$

$c.$ Nhận xét rằng :

$\begin{cases} AK\bot AD\\AK\bot SA\end{cases} \Rightarrow AK\bot (SAD)$
Giả sử mặt phẳng

$\alpha$ song song với mặt phẳng

$(SAD)$ cắt

$AK$ tại

$E$ khi đó :

$d(\alpha ,(SAD))=AE=\frac{a\sqrt{3} }{4} =\frac{1}{2} AK\Rightarrow E$ là trung điểm của

$AK$
Ta đi xác định thiết diện tạo bởi hình chóp với mặt phẳng

$\alpha$ qua

$E$ và song song với

$(SAD)$ như sau :

$\begin{cases}\alpha //(SAD) \\\alpha \cap (ABCD)=Ex\\(SAD)\cap (ABCD)=AD\end{cases} \Rightarrow Ex//AD$
và

$Ex$ cắt

$AB,CD$ theo thứ tự tại

$M,N$ là trung điểm của mỗi đoạn
Trong mặt phẳng

$(SAB)$ dựng

$My//SA$ và cắt

$SB$ tại

$Q$ là trung điểm của

$SB$
Trong mặt phẳng

$(SCD)$ dựng

$Nz,SD$ và cắt

$SC$ tại

$P$ là trung điểm của

$SC$
Vậy thiết diện tạo bởi hình chóp với mặt phẳng

$\alpha$ là

$MNPQ$ ngoài ra vì :

$MN//CD//PQ\Rightarrow MNPQ$ là hình thang

$MQ//SA\Rightarrow MQ\bot (ABCD)\Rightarrow MQ\bot MN\Rightarrow MNPQ$ là hình thang vuông
Từ đó ta được :

$S_{MNPQ}=\frac{1}{2} (MN+PQ).MQ$ trong đó :

$MN=\frac{1}{2} (AD+BC)=\frac{3a}{2}$ vì

$MN$ là đường trung bình của

$ABCD$

$PQ=\frac{1}{2} BC=\frac{a}{2}$ vì

$PQ$ là đường trung bình của

$\Delta SBC$

$MQ=\frac{1}{2} SA=\frac{a\sqrt{6} }{2}$ vì

$MQ$ là đường trung bình của

$\Delta SAB$
suy ra :

$S_{MNPQ}=\frac{1}{2} (\frac{3a}{2}+\frac{a}{2} ).\frac{a\sqrt{6} }{2} =\frac{a^2\sqrt{6} }{2}$

Bài 109771

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109771

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan