Bài 109794

Question

Cho đường tròn đường kính

$AB=2R$ chứa trong mặt phẳng

$(\alpha) ,SA$ vuông góc với mặt phẳng

$(\alpha) ,SA=h$ với

$0<h<2R$ . Gọi

$M$ là một điểm di động trên đường tròn. Xác định vị trí của

$M$ để đọan nối trung điểm hai đoạn

$AM,SB$ là đoạn thẳng vuông góc chung của chúng, khi đó tính độ dài của đoạn vuông góc chung này

score 0 · Answer 1

Gọi

$E,F$ theo thứ tự là trung điểm của

$AM,SB$
Nhận xét rằng dựa trên tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông ta có :

$AF=\frac{1}{2} SB$ và

$MF=\frac{1}{2} SB=\frac{\sqrt{h^2+4R^2} }{2}$

$\Rightarrow MF=AF\Leftrightarrow \Delta AFM$ cân tại

$F$

$\Rightarrow EF\bot AM$
Như vậy để

$EF$ là đoạn thẳng vuông góc chung của

$AM,SB$ điều kiện là :

$EF\bot SB\Leftrightarrow \Delta ESB$ cân tại

$E\Leftrightarrow SE=BE (1)$
Đặt

$AE=x$ suy ra

$ME=x$
Trong

$\Delta SAE$ vuông tại

$A$ ta có :

$SE^2=SA^2+AE^2=h^2+x^2\Rightarrow SE=\sqrt{h^2+x^2} (2)$
Trong

$\Delta EMB$ vuông tại

$M$ ta có :

$BE^2=BM^2+ME^2=(AB^2-AM^2)^2+ME^2$

$=4R^2-4x^2+x^2=4R^2-3x^2$

$\Rightarrow BE=\sqrt{4R^2-3x^2} (3)$
Thay

$(2),(3)$ vào

$(1)$ ta được :

$\sqrt{h^2+x^2}=\sqrt{4R^2-3x^2}\Leftrightarrow h^2+x^2=4R^2-3x^2$

$\Leftrightarrow x=\frac{\sqrt{4R^2-h^2} }{2}\Rightarrow AM=2x=\sqrt{4R^2-h^2}$
Trong

$\Delta MEF$ vuông tại

$E$ ta có :

$EF^2=MF^2-ME^2=\frac{h^2+2R^2}{4} -\frac{4R^2-h^2}{4} =\frac{h^2}{2}\Rightarrow EF=\frac{h\sqrt{2} }{2}$
Vậy với điểm

$M$ thuộc đường tròn sao cho

$AM=\sqrt{4R^2-h^2}$ thì

$EF$ là đoạn thẳng vuông góc chung của

$AM,SB$ và khi đó

$EF=\frac{h\sqrt{2} }{2}$

Bài 109794

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 109794

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan