Bài 110269

Question

Cho hai đường tròn đồng tâm.Qua một điểm $P$ cố định thuộc đường tròn nhỏ, ta kẻ một dây cung $PA$ thay đổi thuộc đường tròn này.Đường thẳng qua $P$ và vuông góc với $PA$ cắt đường tròn lớn tạo hai điểm $B,C$
Tìm tập hợp các trung điểm của các cạnh của tam giác $ABC$

score 0 · Answer 1

Gọi $A',B',C'$ theo thứ tự là các trung điểm của các cạnh $BC,CA,AB,Q$ là giao điểm thứ hai của dây $BPC$ với đường tròn nhỏ.Dễ thấy ba điểm $A,Q,O$ thẳng hàng và $O$ là trung điểm của cạnh $AQ$ của tam giác $APQ$ hay $OP$ là một trung tuyến của tam giác $APQ$.Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $APQ$
Ta có : $\overrightarrow {GO}=-\frac{1}{2} \overrightarrow {BP} $ suy ra $G$ là điểm cố định.Mặt khác ta cũng có :
$\overrightarrow {GA'}=-\frac{1}{2} \overrightarrow {GA} $
hay $A'$ là ảnh của $A$ trong phép vị tự tâm $G$ tỉ số $-\frac{1}{2} $
Khi cát tuyến $PA$ thay đổi thì $A$ chạy trên đường tròn nhỏ, do đó $A'$ chạy trên đường tròn ảnh của đường tròn nhỏ trong phép vị tự tâm $G$ và tỉ số $k=-\frac{1}{2} $
$A'$ là trung điểm của $BC$ và cũng là trung điểm của $PQ$ do đó hai tam giác $APQ,ABC$có cùng trọng tâm, nghĩa là tam giác $ABC$ cùng nhận điểm cố định $G$ làm trọng tâm.Như vậy ta có :
$\overrightarrow {GB'} =-\frac{1}{2} \overrightarrow {GB} $
hay $B'$ là ảnh của $B$ trong phép vị tự tâm $G$, tỉ số $k=-\frac{1}{2} $.Khi dây $PA$ thay đổi thì tập hợp các điểm $B$ là đường tròn lớn, vậy tập hợp của $B'$ là ảnh của đường tròn lớn trong phép vị tự tâm $G$, tỉ số $k=-\frac{1}{2} $
Tương tự tập hợp các trung điểm $C'$ của cạnh $AC$ cũng là ảnh của đường tròn lớn trong phép vị tự tâm $G$, tỉ số $k=-\frac{1}{2} $

Bài 110269

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110269

1 Đáp án

Liên quan

PHÉP VỊ TỰ VÀ SỰ ĐỒNG DẠNG CỦA CÁC KHỐI ĐA DIỆN. CÁC KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU

Lý thuyết liên quan