Bài 110331

Question

Cho tứ diện

$ABCD$ .Một điểm

$M$ thuộc cạnh

$AB$ và một điểm

$N$ thuộc cạnh

$CD$ sao cho :

$\frac{AM}{AB}=\frac{DN}{DC}=k$

$a.$ Chứng minh ba đường thẳng

$BC,MN,AD$ luôn song song với một mặt phẳng cố định khi

$k$ thay đổi

$b.$ Một điểm

$P$ trên

$BD$ và một điểm

$Q$ trên

$AC$ sao cho :

$\frac{PD}{BD}=\frac{AQ}{AC}=k'$
Chứng minh rằng hai đường thẳng

$MN,PQ$ cắt nhau khi và chỉ khi

$k=k'$

score 0 · Answer 1

$a.$ Gọi

$E,F,G,H$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh

$AB,BD,DC,CA$ .Dễ thấy bốn điểm

$E,F,G,H$ cùng nằm trong một mặt phẳng cố định không phụ thuộc vào

$k$

$AD//EF\Rightarrow AD//(EFGH)$

$BC//EH\Rightarrow BC//(EFGH)$
Bây giờ ta chứng minh

$MN$ cùng song song với

$EFGH$
Gọi

$R$ là giao điểm của đường thẳng kẻ qua

$M$ và song song với

$BC$ với cạnh

$AC$ .Ta có :

$MR//BC\Rightarrow MR//EH (1)$

$MR//BC\Rightarrow \frac{AR}{AC}=\frac{AM}{AB}=k$
Suy ra :

$\frac{AR}{AC}=\frac{DN}{DC}\Rightarrow MR//AD$

$\Rightarrow NR//HG (2)$
Từ

$(1),(2)$ suy ra hai mặt phẳng

$(MNR),(EFGH)$ song song với nhau mà

$MN\in (MNR)$ nên

$MN//(EFGH)$
Vậy khi

$k$ thay đổi ba đường thẳng

$BC,MN,AD$ luôn song song với mặt phẳng

$(EFGH)$

$b.$ Ta cũng chứng minh được

$PQ//(EFGH)$ .Do vậy :
- Khi

$k=k'$ thì bốn điểm

$P,Q,M,N$ cùng nằm trên một mặt phẳng

$\alpha ;\alpha //(EFGH)\Rightarrow PQ,MN$ cũng thuộc

$mp(\alpha )$ và chúng cắt nhau bởi nếu chúng song song với nhau thì dẫn đến bốn điểm

$A,B,C,D$ đồng phẳng
- Khi

$MN$ cắt

$QP$ thì

$(MNPQ)$ song song với

$(EFGH)\Rightarrow MQ//EH$

$\frac{AM}{AB}=\frac{AQ}{AC}\Rightarrow k=k'$

Bài 110331

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110331

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan