Bài 110404

Question

Cho tứ diện

$ABCD$ một điểm

$M$ thuộc cạnh

$AB$ và một điểm

$N$ thuộc cạnh

$CD.$ Gọi

$P,Q,R,S$ theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng

$DM,CM,AN,BN$ Chứng minh bốn điểm

$P,Q,R,S$ đồng phẳng

score 0 · Answer 1

Ta có trong tam giác

$ABN$ thì

$RS$ là đường trung bình :

$\overrightarrow {RS}=\frac{1}{2} \overrightarrow {AB} (1)$
Trong tam giác

$CDM$ thì

$PQ$ là đường trung bình :

$\overrightarrow {PQ}=\frac{1}{2} \overrightarrow {CD} (2)$
vì

$R$ là trung điểm của

$AN$ nên

$2\overrightarrow {PR}=\overrightarrow {PA}+\overrightarrow {N}$

$\Rightarrow 2\overrightarrow {PR}=\overrightarrow {PM}+\overrightarrow {MA} +\overrightarrow {PD}+\overrightarrow {DN}$

$\Rightarrow 2\overrightarrow {PR}=\overrightarrow {MA}+\overrightarrow {DN}+(\overrightarrow {PM}+\overrightarrow {PD} )$
Vì

$P$ là trung điểm của

$MD$ nên

$\overrightarrow {PM}+\overrightarrow {PD}=\overrightarrow {0}$
Cuối cùng ta có

$\overrightarrow {PR}=\frac{1}{2} \overrightarrow {MA}+\frac{1}{2} \overrightarrow {DN}$
Đẳng thức này chứng tỏ

$\overrightarrow {PR}$ và

$\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {DN}$ đồng phẳng hay

$\overrightarrow {PR},\overrightarrow {AB},\overrightarrow {CD}$ đồng phẳng

$(3)$
Tương tự ta có :

$\overrightarrow {SQ}=\frac{1}{2} \overrightarrow {NC}+\frac{1}{2} \overrightarrow {BM}$
Và từ đẳng thức này ta cũng suy ra

$\overrightarrow {SQ},\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD}$ đồng phẳng

$(4)$ .Từ

$(1),(2),(3),(4)$ suy ra bốn véctơ

$\overrightarrow {PQ},\overrightarrow {PR},\overrightarrow {RS},\overrightarrow {SQ}$ đồng phẳng.Vậy bốn điểm

$P,Q,R,S$ nằm trong một mặt phẳng

1 Đáp án