Bài 111282

Question

Cho bốn điểm $A,B,C,D$ không đồng phẳng và hai số thực $k,k'(\neq 1)$ và bốn điểm $M,N,P,Q$ thỏa mãn các hệ thức
$\overrightarrow {MA} =k.\overrightarrow {MC}; \overrightarrow {NB}=k\overrightarrow {ND} $
$\overrightarrow {PA} =k'.\overrightarrow {PB}; \overrightarrow {QC}=k'.\overrightarrow {QD} $
$a.$ Chứng minh ba véctơ $\overrightarrow {MN},\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} $ đồng phẳng
$b.$ Chứng minh bốn điểm $M,N,P,Q$ đồng phẳng
$c.$ Chứng minh hai đường thẳng $MN,PQ$ cắt nhau

score 0 · Answer 1

$a.$ Để chứng minh ba véctơ $\overrightarrow {MN},\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} $ đồng phẳng, ta tìm cách biểu diễn $\overrightarrow {MN} $ theo $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD} $.Ta có
$\overrightarrow {MN}=\overrightarrow {DN}-\overrightarrow {DM}   $ ta tính $\overrightarrow {DM},\overrightarrow {DN} $
$\overrightarrow {DN}=\overrightarrow {DB} +\overrightarrow {DN}=\overrightarrow {DB}+k.\overrightarrow {DN}   $
$\Rightarrow \overrightarrow {DN}=\frac{\overrightarrow {DB} }{1-k} $
$\overrightarrow {DM}=\overrightarrow {DA} +\overrightarrow {AM}\Rightarrow \overrightarrow {DM}=\overrightarrow {DA}-k\overrightarrow {MC}    $
$\overrightarrow {DM}=\overrightarrow {DA}-k(\overrightarrow {MD}+\overrightarrow {DC} ) $
$\Rightarrow \overrightarrow {DM}=\frac{\overrightarrow {DA}-k.\overrightarrow {DC} }{1-k} $
Vậy $\overrightarrow {MN}=\overrightarrow {DN}-\overrightarrow {DM}=\frac{1}{1-k}(\overrightarrow {DB}-\overrightarrow {DA}+k.\overrightarrow {DC}   )    $
$\Rightarrow \overrightarrow {MN}=\frac{1}{1-k}\overrightarrow {AB} +\frac{k}{1-k}   .\overrightarrow {DC} $
Vậy $\overrightarrow {MN},\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC} $ đồng phẳng
$b.$ Ta tính $\overrightarrow {MP},\overrightarrow {MQ} $
$\overrightarrow {MP}=\overrightarrow {MA}+\overrightarrow {AP}   $.từ giả thiết ta tính được
$\overrightarrow {MA}=\frac{k.\overrightarrow {AC} }{1-k} ;\overrightarrow {AP}=\frac{k.\overrightarrow {AB} }{1-k'} $
$\Rightarrow \overrightarrow {MP}=\frac{k.\overrightarrow {AC} }{1-k} -\frac{k'\overrightarrow {AB} }{1-k}              (1)$
$\overrightarrow {MQ}=\overrightarrow {MC}+\overrightarrow {CQ}   $.từ giả thiết ta tính được
$\overrightarrow {MC}=\frac{\overrightarrow {AC} }{1-k} ;\overrightarrow {CQ}=\frac{-k'\overrightarrow {CD} }{1-k} $
$\Rightarrow \overrightarrow {MC}=\frac{\overrightarrow {AC} }{1-k} -\frac{k'\overrightarrow {CD} }{1-k}           (2)$
Từ $(1), (2)$ ta có :
$\overrightarrow {MP}+k.\overrightarrow {MQ}=\frac{-k'}{1-k'}   (\overrightarrow {AB} +k\overrightarrow {DC} )         (3)$
Ta lại có $\overrightarrow {MN}=\frac{1}{1-k} (\overrightarrow {AB} +k\overrightarrow {DC} )        (4)$
Từ $(3),(4 )$ ta suy ra :
$\overrightarrow {MN}=m(\overrightarrow {MP}+k.\overrightarrow {MQ} ) $ với $m=\frac{1-k'}{k'(1-k)} $
Đẳng thức này chứng tỏ ba véctơ $\overrightarrow {MP},\overrightarrow {MQ},\overrightarrow {MN}   $ đồng phẳng.Suy ra bốn điểm $M,N,P,Q$ đồng phẳng
$c.$ Ta cũng tính được : $\overrightarrow {PQ} $ theo $\overrightarrow {MP} $ và đi đến kết luận :
Trong mặt phẳng $(MNPQ)$ hai véctơ $\overrightarrow {MN},\overrightarrow {PQ} $ không cùng phương nên hai đường thẳng $MN,PQ$ cắt nhau

Bài 111282

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111282

1 Đáp án

Liên quan

VECTO TRONG KHÔNG GIAN, SỰ ĐỒNG PHẲNG CỦA CÁC VECTO

Lý thuyết liên quan