Bài 111282

Question

Cho bốn điểm

$A,B,C,D$ không đồng phẳng và hai số thực

$k,k'(\neq 1)$ và bốn điểm

$M,N,P,Q$ thỏa mãn các hệ thức

$\overrightarrow {MA} =k.\overrightarrow {MC}; \overrightarrow {NB}=k\overrightarrow {ND}$

$\overrightarrow {PA} =k'.\overrightarrow {PB}; \overrightarrow {QC}=k'.\overrightarrow {QD}$

$a.$ Chứng minh ba véctơ

$\overrightarrow {MN},\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD}$ đồng phẳng

$b.$ Chứng minh bốn điểm

$M,N,P,Q$ đồng phẳng

$c.$ Chứng minh hai đường thẳng

$MN,PQ$ cắt nhau

score 0 · Answer 1

$a.$ Để chứng minh ba véctơ

$\overrightarrow {MN},\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD}$ đồng phẳng, ta tìm cách biểu diễn

$\overrightarrow {MN}$ theo

$\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD}$ .Ta có

$\overrightarrow {MN}=\overrightarrow {DN}-\overrightarrow {DM}$ ta tính

$\overrightarrow {DM},\overrightarrow {DN}$

$\overrightarrow {DN}=\overrightarrow {DB} +\overrightarrow {DN}=\overrightarrow {DB}+k.\overrightarrow {DN}$

$\Rightarrow \overrightarrow {DN}=\frac{\overrightarrow {DB} }{1-k}$

$\overrightarrow {DM}=\overrightarrow {DA} +\overrightarrow {AM}\Rightarrow \overrightarrow {DM}=\overrightarrow {DA}-k\overrightarrow {MC}$

$\overrightarrow {DM}=\overrightarrow {DA}-k(\overrightarrow {MD}+\overrightarrow {DC} )$

$\Rightarrow \overrightarrow {DM}=\frac{\overrightarrow {DA}-k.\overrightarrow {DC} }{1-k}$
Vậy

$\overrightarrow {MN}=\overrightarrow {DN}-\overrightarrow {DM}=\frac{1}{1-k}(\overrightarrow {DB}-\overrightarrow {DA}+k.\overrightarrow {DC} )$

$\Rightarrow \overrightarrow {MN}=\frac{1}{1-k}\overrightarrow {AB} +\frac{k}{1-k} .\overrightarrow {DC}$
Vậy

$\overrightarrow {MN},\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DC}$ đồng phẳng

$b.$ Ta tính

$\overrightarrow {MP},\overrightarrow {MQ}$

$\overrightarrow {MP}=\overrightarrow {MA}+\overrightarrow {AP}$ .từ giả thiết ta tính được

$\overrightarrow {MA}=\frac{k.\overrightarrow {AC} }{1-k} ;\overrightarrow {AP}=\frac{k.\overrightarrow {AB} }{1-k'}$

$\Rightarrow \overrightarrow {MP}=\frac{k.\overrightarrow {AC} }{1-k} -\frac{k'\overrightarrow {AB} }{1-k} (1)$

$\overrightarrow {MQ}=\overrightarrow {MC}+\overrightarrow {CQ}$ .từ giả thiết ta tính được

$\overrightarrow {MC}=\frac{\overrightarrow {AC} }{1-k} ;\overrightarrow {CQ}=\frac{-k'\overrightarrow {CD} }{1-k}$

$\Rightarrow \overrightarrow {MC}=\frac{\overrightarrow {AC} }{1-k} -\frac{k'\overrightarrow {CD} }{1-k} (2)$
Từ

$(1), (2)$ ta có :

$\overrightarrow {MP}+k.\overrightarrow {MQ}=\frac{-k'}{1-k'} (\overrightarrow {AB} +k\overrightarrow {DC} ) (3)$
Ta lại có

$\overrightarrow {MN}=\frac{1}{1-k} (\overrightarrow {AB} +k\overrightarrow {DC} ) (4)$
Từ

$(3),(4 )$ ta suy ra :

$\overrightarrow {MN}=m(\overrightarrow {MP}+k.\overrightarrow {MQ} )$ với

$m=\frac{1-k'}{k'(1-k)}$
Đẳng thức này chứng tỏ ba véctơ

$\overrightarrow {MP},\overrightarrow {MQ},\overrightarrow {MN}$ đồng phẳng.Suy ra bốn điểm

$M,N,P,Q$ đồng phẳng

$c.$ Ta cũng tính được :

$\overrightarrow {PQ}$ theo

$\overrightarrow {MP}$ và đi đến kết luận :
Trong mặt phẳng

$(MNPQ)$ hai véctơ

$\overrightarrow {MN},\overrightarrow {PQ}$ không cùng phương nên hai đường thẳng

$MN,PQ$ cắt nhau

Bài 111282

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111282

1 Đáp án

Liên quan

VECTO TRONG KHÔNG GIAN, SỰ ĐỒNG PHẲNG CỦA CÁC VECTO

Lý thuyết liên quan