Bài 110520

Question

Cho hai đường tròn $(C_1)$ và $(C_2)$ có phương trình:
$(C_1): x^2+y^2=25, (C_2):x^2+y^2=1$. Các điểm $A, B$ lần lượt di động trên $(C_1)$ và $(C_2)$ sao cho $Ox$ là phân giác của góc $\widehat{AOB}$. Gọi $M$ là trung điểm của $AB$
a) Chứng minh rằng quỹ tích của điểm $M$ là một Elip $(E)$
b) Đường thẳng $(d)$ di động luôn đi qua $I(4;8)$ cắt $(E)$ tại $C, D$. Chứng minh rằng quỹ tích trung điểm $N$ của đoạn $CD$ thuộc Elip cố định
c) Các điểm $P, Q$ di động trên $(E)$ sao cho các hệ số góc của đường thẳng $OP$ và $OQ$ bằng $-\frac{b^2}{a^2} $ (với $a, b$ là các hệ số của $(E)$). Các tiếp tuyến của $(E)$ tại $P, Q$ cắt nhau tại $K$. Lập phương trình quỹ tích điểm $K$

hoàng anh thọ · Answer 1 · 7/3/2012 5:47:03 PM

Xét đường tròn $(C_1),(C_2)$, ta được: $(C_1):\begin{cases}Tâm O \\ Bán kính R_1=5 \end{cases}               (C_2):\begin{cases}Tâm O \\ Bán kính R_2=1 \end{cases} $
a. Với $B(x_B;y_B)\in (C_2)$ thì $x_B^2+y_B^2=1           (1)$
Gọi $B_1$ là điểm đối xứng với $B$ qua $Ox\Rightarrow B_1(x_B-y_B)\in OA$ và thỏa mãn $\overrightarrow{OA}=5\overrightarrow{OB_1} \Rightarrow A(5x_B;-5y_B) $
Khi đó, tọa độ trung điểm $M$ của $AB$ được cho bởi: $M:\begin{cases}x=\frac{x_A+x_B}{2}=\frac{5x_B+x_B}{2}   \\ y=\frac{y_A+y_B}{2}=\frac{-5y_B+y_B}{2}   \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x_B=\frac{x}{3} \\ y_B=-\frac{y}{2} \end{cases}       (I)$
Thay $(I)$ vào $(1)$ ta được: $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1 $
Vậy tập hợp các điểm $M$ thuộc Elip $(E)$ có phương trình $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1 $
b. Giả sử $(d)$ có hệ số góc $k$, khi đó $(d):y=k(x-4)+8$. Phép co $f$ trục $Ox$ tỉ số $\frac{3}{2} $ biến điểm $M(x;y)$ thành điểm $M_1(x_1;y_1)$ thỏa: $\begin{cases}x_1=x \\ y_1=\frac{3}{2}y \end{cases} $
Biến:
- E líp $(E)$ thành đường tròn $(C):x^2+y^2=9$
- Đường thẳng $(d)$ thành đường thẳng $(d_1)$ có phương trình: $(d_1):\frac{2}{3}y=k(x-4)+8 $
và chứa các điểm $I_1(4;12), C_1, D_1, N_1$ theo thứ tự là ảnh của $I, C, D, N$ qua $f$ và $N_1$ là trung điểm của $C_1D_1$
Ta có $N_1$ nhìn $OI_1$ dưới một góc vuông $\Leftrightarrow N_1$ thuộc đường tròn $(S_1)$, đường kính $OI_1$, có phương trình: $(S_1):(x-2)^2+(y-6)^2=40$
Vậy $N$ thuộc Elip $(E_1)$ là tạo ảnh của $(S_1)$ với phép co $f$, tức là: $(E_1):(x-2)^2+(\frac{3}{2}y-6 )^2=40\Leftrightarrow (E_1):\frac{(x-2)^2}{40}+\frac{(y-4)^2}{160/9}=1 $
c. Phát biểu lại, $K$ chính là các điểm từ đó kẻ được hai tiếp tuyến $KP, KQ$ tới $(E)$ sao cho tích các hệ số góc của các đường thẳng $OP$ và $OQ$ là $k_P.k_Q=-\frac{4}{9} $
Phép co $f$ biến:
- Điểm $K$ thành điểm $K_1$
- Đường thẳng $(OP)$ thành đường thẳng $(OP_1)$ có hệ số góc $k'_P=\frac{3}{2}k_P $
- Đường thẳng $(OQ)$ thành đường thẳng $(OQ_1)$ có hệ số góc $k'_Q=\frac{3}{2}k_Q $
$\Rightarrow k'_P.k'_Q=\frac{9}{4}k_P.k_Q=\frac{9}{4}(-\frac{4}{9} )=-1 $
$\Leftrightarrow OP_1\bot OQ_1\Leftrightarrow K_1P_1\bot K_1Q_1\Leftrightarrow OK_1=3\sqrt{2} $
Do đó $K_1$ thuộc đường tròn $(S_2)$ tâm $O$, bán kính $R=3\sqrt{2} $, có phương trình: $(S_2):x^2+y^2=18$
Vậy, điểm $N$ thuộc Elip $(E_2)$ là tạo ảnh của $(S_2)$ với phép co $f$, tức là:
$(E_2):x^2+(\frac{3}{2}y )^2=18\Leftrightarrow (E_2):\frac{x^2}{18}+\frac{y^2}{8}=1 $

Bài 110520

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110520

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan