Bài 110907

Question

Cho họ đường cong

$(P_m)$ có phương trình:

$(P_m): y^2-2my-2m^2x+m^2+2m-1=0$
Tìm điều kiện của

$m$ để

$(P_m)$ là phương trình một Parabol, khi đó:
a. Tìm quỹ tích đỉnh của họ

$(P_m)$
b. Tìm quỹ tích tiêu điểm của họ

$(P_m)$
c. Tìm điểm cố định mà họ

$(P_m)$ luôn đi qua

hoàng anh thọ · Answer 1 · 7/6/2012 2:34:56 PM

Chuyển phương trình của

$(P_m)$ về dạng:

$(P_m): (y-m)^2=2m^2(x-\frac{2m-1}{2m^2} )$
Để phương trình trên là phương trình của một Parabol điều kiện là

$m\neq 0$
Thực hiện phép tịnh tiến hệ trục tọa độ

$Oxy$ theo vecto

$\overrightarrow{OS}$ với

$S(\frac{2m-1}{2m^2};m )$ thành hệ trục

$SXY$ , với công thức đổi trục:

$\begin{cases}X=x-\frac{2m-1}{2m^2} \\ Y=y-m \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=X+\frac{2m-1}{2m^2} \\ y=Y+m \end{cases}$
Khi đó:

$(P):Y^2=2m^2X\Rightarrow p=m^2$
Khi đó trong hệ trục

$SXY, (P_m)$ có các thuộc tính:
- Đỉnh

$S$
- Trục đối xứng

$SX$ chứa tiêu điểm

$F(\frac{m^2}{2};0 )$
- Phương trình đường chuẩn

$(d): X=-\frac{m^2}{2}$
Do đó trong hệ trục

$Oxy, (P_m)$ có các thuộc tính:
- Đỉnh

$S(\frac{2m-1}{2m^2};0 )$
- Trục đối xứng là

$y-m=0$ chứa tiêu điểm

$F(\frac{m^2}{2}+\frac{2m-1}{2m^2};m )$
- Phương trình đường chuẩn

$(d):x+\frac{m^2}{2}-\frac{2m-1}{2m^2}=0$
a. Quỹ tích đỉnh của họ

$(P_m)$

$S:\begin{cases}x=\frac{2m-1}{2m^2} \\ y=m \end{cases} \Rightarrow x=\frac{2y-1}{2y^2}$
Vậy quỹ tích đỉnh của

$(P_m)$ thuộc đường cong

$(C_1):x=\frac{2m-1}{2m^2}$
b. Quỹ tích tiêu điểm của họ

$(P_m)$

$F:\begin{cases}x=\frac{m^2}{2}+\frac{2m-1}{2m^2} \\ y=m \end{cases} \Rightarrow x=\frac{y^2}{2}+\frac{2y-1}{2y^2}\Leftrightarrow x=\frac{y^4+2y-1}{2y^2}$
Vậy quỹ tích đỉnh của

$(P_m)$ thuộc đường cong

$(C_2):x=\frac{y^4+2y-1}{2y^2}$
c. Gọi

$M(x;y)$ là điểm cố định màhọ

$(P_m)$ luôn đi qua, khi đó:

$y^2-2my-2m^2x+m^2+2m-1=0, \forall m$

$\Leftrightarrow (1-2x)m^2+2(1-y)m+y^2-1=0, \forall m \Leftrightarrow \begin{cases}1-2x=0 \\ 1-y=0\\y^2-1=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=\frac{1}{2} \\ y=1 \end{cases}$
Vậy

$(P_m)$ luôn đi qua điểm cố định

$M(\frac{1}{2};1 )$

Bài 110907

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110907

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan