Bài 110907

Question

Cho họ đường cong $(P_m)$ có phương trình: $(P_m): y^2-2my-2m^2x+m^2+2m-1=0$
Tìm điều kiện của $m$ để $(P_m)$ là phương trình một Parabol, khi đó:
a. Tìm quỹ tích đỉnh của họ $(P_m)$
b. Tìm quỹ tích tiêu điểm của họ $(P_m)$
c. Tìm điểm cố định mà họ $(P_m)$ luôn đi qua

hoàng anh thọ · Answer 1 · 7/6/2012 2:34:56 PM

Chuyển phương trình của $(P_m)$ về dạng: $(P_m): (y-m)^2=2m^2(x-\frac{2m-1}{2m^2} )$
Để phương trình trên là phương trình của một Parabol điều kiện là $m\neq 0$
Thực hiện phép tịnh tiến hệ trục tọa độ $Oxy$ theo vecto $\overrightarrow{OS} $ với $S(\frac{2m-1}{2m^2};m )$ thành hệ trục $SXY$, với công thức đổi trục:
$\begin{cases}X=x-\frac{2m-1}{2m^2} \\ Y=y-m \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=X+\frac{2m-1}{2m^2} \\ y=Y+m \end{cases} $
Khi đó: $(P):Y^2=2m^2X\Rightarrow p=m^2$
Khi đó trong hệ trục $SXY, (P_m)$ có các thuộc tính:
- Đỉnh $S$
- Trục đối xứng $SX$ chứa tiêu điểm $F(\frac{m^2}{2};0 )$
- Phương trình đường chuẩn $(d): X=-\frac{m^2}{2} $
Do đó trong hệ trục $Oxy, (P_m)$ có các thuộc tính:
- Đỉnh $S(\frac{2m-1}{2m^2};0 )$
- Trục đối xứng là $y-m=0$ chứa tiêu điểm $F(\frac{m^2}{2}+\frac{2m-1}{2m^2};m )$
- Phương trình đường chuẩn $(d):x+\frac{m^2}{2}-\frac{2m-1}{2m^2}=0 $
a. Quỹ tích đỉnh của họ $(P_m)$
$S:\begin{cases}x=\frac{2m-1}{2m^2} \\ y=m \end{cases} \Rightarrow x=\frac{2y-1}{2y^2} $
Vậy quỹ tích đỉnh của $(P_m)$ thuộc đường cong $(C_1):x=\frac{2m-1}{2m^2} $
b. Quỹ tích tiêu điểm của họ $(P_m)$
$F:\begin{cases}x=\frac{m^2}{2}+\frac{2m-1}{2m^2} \\ y=m \end{cases} \Rightarrow x=\frac{y^2}{2}+\frac{2y-1}{2y^2}\Leftrightarrow x=\frac{y^4+2y-1}{2y^2} $
Vậy quỹ tích đỉnh của $(P_m)$ thuộc đường cong $(C_2):x=\frac{y^4+2y-1}{2y^2} $
c. Gọi $M(x;y)$ là điểm cố định màhọ $(P_m)$ luôn đi qua, khi đó: $y^2-2my-2m^2x+m^2+2m-1=0, \forall m$
$\Leftrightarrow (1-2x)m^2+2(1-y)m+y^2-1=0, \forall m \Leftrightarrow \begin{cases}1-2x=0 \\ 1-y=0\\y^2-1=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}x=\frac{1}{2} \\ y=1 \end{cases} $
Vậy $(P_m)$ luôn đi qua điểm cố định $M(\frac{1}{2};1 )$

Bài 110907

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110907

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan