Bài 110994

Question

Cho tứ diện $ABCD;I,J$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $AC,BC$ và một điểm $K$ được xác định bởi hệ thức $\overrightarrow {BK}=2\overrightarrow {KD} $
$a.$ Tìm giao điểm $E$ của đường thẳng $CD$ với mặt phẳng $(IJK)$ và chứng minh $DE=DC$
$b.$ Tìm thiết diện của tứ diện khi cắt bởi mặt phẳng $(IJK)$ thiết diện là hình gì ?
$c.$ Lấy một điểm $M$ thuộc cạnh $AB$ và một điểm $M$ thuộc cạnh $CD$
Tìm giao điểm của đường thẳng $MN$ với mặt phẳng $(IJK)$

score 0 · Answer 1

$a.$ Đẳng thức $\overrightarrow {BK}=-2\overrightarrow {KD} $ chứng tỏ điểm $K\in BD$ và chia trong đoạn thẳng $BD$ theo tỉ số $k=2$
Ta có : $\frac{BK}{KD}=2;\frac{BJ}{JC}=1 $
$\frac{BK}{KD}\neq \frac{BJ}{IC} $
$\Rightarrow JK,CD$ không song song với nhau và cắt nhau tại điểm $E$
$\left.\begin{matrix} E\in JK và JK\subset (IJK)\\E\in CD \end{matrix}\right\} \Rightarrow E=CD\cap (IJK)$
Gọi $H$ là trung điểm của cạnh $BD$ ta có : $KD=2KH$
Hai tam giác $KHJ,KDE$ đồng dạng cho ta
$\frac{KE}{KJ}=\frac{KD}{KH}=2 $
Trong tam giác $BEC,EJ$ là trung tuyến nên tỉ số $\frac{EK}{KJ}=2 $ chứng tỏ $K$ là trọng tâm của tam giác $BEC$ và suy ra $D$ là trung điểm của $EC$
$b.$ $EI\cap AD=F\Rightarrow AD\cap (IJK)$ và $IF$ là đoạn giao tuyến của mặt phẳng $(IJK)$ cắt bên $ABD$.Như vậy, mặt phẳng $(IJK)$ cắt các mặt bên của tứ diện $ABCD$ :
- Cắt mặt $ABC$ theo đoạn thẳng $IJ$
- Cắt mặt $BCD$ theo đoạn thẳng $JK$
- Cắt mặt $ABD$ theo đoạn thẳng $KF$
- Cắt mặt $ACD$ theo đoạn thẳng $FI$
Thiết diện có được là tứ giác $IJFK$
Ta có trong tam giác $AEC,EI,AD$ là các trung tuyến nên $F$ là trọng tâm của tam giác $AEC$
$K$ là trọng tâm của $\Delta BEC\Rightarrow \frac{EK}{KJ}=2 $
$F$ là trong tâm của $\Delta AEC\Rightarrow \frac{EF}{FI}=2 $
Từ đây ta có : $\frac{EK}{KJ}=\frac{EF}{FI}\Rightarrow FK//IJ $
Vậy tứ giác $IJFK$ là hình thang

$c.$ Ta gọi :
$H=AN\cap IF$
$G=BN\cap JK$
$R=CM\cap IJ$
$S=DM\cap KF$
Và $P=GH\cap RS$
Như vậy $P\in (IJK) (1)$
Mặt khác $P\in RS\Rightarrow P\in (CDM)$
$P\in HG\Rightarrow P\in (ABN)$
hay $P$ là điểm chung của hai mặt phẳng $(ADM),(ABM)$.Hai mặt phẳng này giao nhau theo giao tuyến $MN$ nên
$P\in MN (2)$
Từ $(1),(2)$ suy ra $P$ là giao điểm của $MN$ với $(IJK)$

Bài 110994

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 110994

1 Đáp án

Liên quan

Sử dụng công thức thể tích tính khoảng cách

Lý thuyết liên quan