Bài 111046

Question

Cho hệ phương trình

$\begin{cases}x+y+xy=m+1 \\ x^2y+xy^2=m \end{cases} (I)$
a) Giải hệ phương trình khi

$m=2$
b) Tìm

$m$ để hệ có nghiệm

$x>0,y>0$

score 1 · Answer 1

Viết lại

$(I) \Leftrightarrow (II) \begin{cases}x+y+xy=m+1 \\ (x+y)xy=m \end{cases}$ Đặt

$U=x+y, V=xy$
Điều kiện

$U^2 \geq 4V (2)$ . Hệ

$(II)$ trở thành

$(III) \begin{cases}U+V=1+m \\ UV=m \end{cases}$
a) Khi

$m=2$ , hẹ

$(III)$ trở thành

$\begin{cases}U+V=3 \\ UV=2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}(U=1; V=2) ( loại do (2)) \\ (U=2; V=1) \end{cases}$
Với

$(U=2; V=1)$ có

$\begin{cases}x+y=2 \\ xy=1 \end{cases} \Leftrightarrow x=y=1$
Đó là nghiệm duy nhất của hệ khi

$m=2$
b) Ta có

$(III) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{cases}U=1 \\ V=m \end{cases}}\\ {\begin{cases}U=m \\ V=1 \end{cases}} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {(A) \begin{cases}x+y=1 \\ xy=m \end{cases}}\\ {(B) \begin{cases}x+y=m \\ xy=1 \end{cases}} \end{array}} \right.$
* Hệ

$(I)$ có nghiệm

$x>0,y>0 \Leftrightarrow$ Hệ

$(A)$ hoặc hệ

$(B)$ có nghiệm

$x>0,y>0$
+ Hệ

$(A)$ có nghiệm

$x>0,y>0$ khi và chỉ khi