Bài 111046

Question

Cho hệ phương trình $\begin{cases}x+y+xy=m+1 \\ x^2y+xy^2=m \end{cases} (I)$
a) Giải hệ phương trình khi $m=2$
b) Tìm $m$ để hệ có nghiệm $x>0,y>0$

score 1 · Answer 1

Viết lại $(I) \Leftrightarrow (II) \begin{cases}x+y+xy=m+1 \\ (x+y)xy=m \end{cases}$ Đặt $U=x+y, V=xy$
Điều kiện $U^2 \geq 4V (2)$. Hệ $(II)$ trở thành $(III) \begin{cases}U+V=1+m \\ UV=m \end{cases}$
a) Khi $m=2$, hẹ $(III)$ trở thành
   $\begin{cases}U+V=3 \\ UV=2 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}(U=1; V=2)     ( loại do (2)) \\ (U=2; V=1) \end{cases}$
Với $(U=2; V=1)$ có $\begin{cases}x+y=2 \\ xy=1 \end{cases} \Leftrightarrow x=y=1$
Đó là nghiệm duy nhất của hệ khi $m=2$
b) Ta có $(III) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\begin{cases}U=1 \\ V=m \end{cases}}\\
{\begin{cases}U=m \\ V=1 \end{cases}}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{(A) \begin{cases}x+y=1 \\ xy=m \end{cases}}\\
{(B) \begin{cases}x+y=m \\ xy=1 \end{cases}}
\end{array}} \right.$
* Hệ $(I)$ có nghiệm $x>0,y>0 \Leftrightarrow $ Hệ $(A)$ hoặc hệ $(B)$ có nghiệm $x>0,y>0$
+ Hệ $(A)$ có nghiệm $x>0,y>0$ khi và chỉ khi $\begin{cases}m>0 \\ 1 \geq 4m \end{cases} \Leftrightarrow 0<m \leq \frac{1}{4}     (3)$
+ Hệ $(B)$ có nghiệm $x>0,y>0$ khi và chỉ khi $\begin{cases}m^2 \geq 4 \\ m>0 \end{cases} \Leftrightarrow m \geq 2    (4)$
* Từ $(3),(4)$ suy ra tập các giá trị của $m$ thỏa mãn hệ $(I)$ có nghiệm
$x>0,y>0$ là $\begin{cases}0<m \leq \frac{1}{4} \\ m \geq 2 \end{cases}$

Bài 111046

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111046

1 Đáp án

Liên quan

Lý thuyết liên quan