|
|
∙ Điều kiện cần
Thấy rằng (x0;y0;z0) là nghiệm của hệ thì (−x0;−y0;−z0) cũng là nghiệm của hệ.
Bởi thế,điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là x0=y0=z0
Thay vào (3) thu được x=y=z=±2
Thay z=±2 vào (1),(2) thu được a=b=z=±2
∙ Điều kiện đủ
*Với a=b=2,hệ trở thành (II){xyz+z=2(1′)xyz2+z=2(2′)x2+y2+z2=4(3′)
Trừ vế theo vế các phương trình (1′) và (2′) suy ra xyz(z−1)=0⇒z=1
-Với z=-1,(II) trở thành {xy=1x2+y2=3⇔{xy=1x+y=±√5
Xem hệ {xy=1x+y=√5(4)
Rõ ràng (4) là hệ đối xứng kiểu 1,đồng thời có S2−4P=1>0 suy ra (4) có 2 nghiệm.Suy ra với z=1 hệ có đã cho có không ít hơn 2 nghiệm.
Vậy (a=b=2) không thích hợp (5)
*Với a=b=−2,hệ trở thành (III)⇔{xyz+z=−2(1″
Rõ ràng z=0 không thỏa mãn hệ (III).
Trừ vế theo vế các phương trình (1'') và (2") suy ra xyz(z-1)=0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x=0}\\ {y=0}\\ {z=1} \end{array}} \right.
Với \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {x=0}\\ {y=0}\\ \end{array}} \right.,dễ dàng suy ra (II) \Leftrightarrow (0;0;-2) (6)
Với z=1 ,(II) trở thành \left\{ \begin{array}{l} xy=-3\\ x^2+y^2=3 \end{array} \right.\Rightarrow (x+y)^2=-3 (mâu thuẫn) (7)
Từ (5),(6),(7) suy ra (a=b=-2) là cặp giá trị duy nhất thích hợp với yêu cầu
|