Bài 111306

Question

Cho Hyperbol $(H)$ có phương trình: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 $
a. Tính độ dài phần đường tiệm cận chắn bởi hai đường chuẩn.
b. Tính khoảng cách từ tiêu điểm đến các tiệm cận
c. Chứng minh rằng chân đường vuông góc hạ từ một tiêu điểm tới các đường tiệm cận nằm trên đường chuẩn.

hoàng anh thọ · Answer 1 · 7/10/2012 4:04:25 PM

Phương trình hai tiệm cận của $(H)$ là: $y=\pm \frac{b}{a}x \Leftrightarrow $$\left[ \begin{array}{l}
bx + ay = 0\\
bx - ay = 0
\end{array} \right.$
Phương trình hai đường chuẩn của $(H)$ là: $x=\pm \frac{a^2}{c}$

a. Gọi $A, B$ là giao điểm của tiệm cận $bx-ay=0$ với đường chuẩn. Khi đó:
- Tọa độ $A$ là nghiệm của hệ: $\begin{cases}bx-ay=0 \\ x=\frac{a^2}{c} \end{cases} \Leftrightarrow A(\frac{a^2}{c};\frac{ab}{c} )$
- Tọa độ $B$ là nghiệm hệ $\begin{cases}bx-ay=0 \\ x=-\frac{a^2}{c} \end{cases} \Leftrightarrow B(-\frac{a^2}{c};-\frac{ab}{c} )$
Do đó:
$AB^2=(-\frac{a^2}{c}-\frac{a^2}{c} )^2+(-\frac{ab}{c}-\frac{ab}{c} )^2=4 \frac{a^4}{c^2}+4 \frac{a^2b^2}{c^2}=\frac{4a^2(a^2+b^2)}{c^2}=4a^2 $
$\Leftrightarrow AB=2a$
b. Từ tính đối xứng của $(H)$ ta chỉ cần tính khoảng cách từ tiêu điểm $F_2(c;0)$ đến tiệm cận $bx-ay=0$. Khoảng cách đó được xác định bởi $h=\frac{bc}{\sqrt{b^2+a^2} }=b $
c. Chứng minh rằng chân đường vuông góc hạ từ một tiêu điểm tới các đường tiệm cận nằm trên đường chuẩn $\Leftrightarrow $ Chứng minh rằng $AF_2\bot AO$
Thật vậy $\overrightarrow{AF_2}(c-\frac{a^2}{c},-\frac{ab}{c} ) $ và $\overrightarrow{AO}(-\frac{a^2}{c},-\frac{ab}{c} ) $ suy ra:
$\overrightarrow{AF_2}.\overrightarrow{AO}=(c-\frac{a^2}{c} )(-\frac{a^2}{c} )+\frac{a^2b^2}{c} =\frac{(a^2-c^2)a^2+a^2b^2}{c^2} =\frac{a^2}{c^2}(a^2-c^2+b^2)=0 $
$\Leftrightarrow \overrightarrow{AF_2}\bot \overrightarrow{AO}\Leftrightarrow AF_2\bot AO \Leftrightarrow A$ là hình chiếu của $F_2$ lên tiệm cận $bx-ay=0$

Bài 111306

1 Đáp án

Lý thuyết liên quan

Bài 111306

1 Đáp án

Liên quan

ĐƯỜNG HYPEBOL

Lý thuyết liên quan